Question

12．已知函數(shù)f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）．
（1）當λ=-4時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)λ的值；
（3）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把λ=-4代入函數(shù)解析式，求解指數(shù)方程求得函數(shù)f（x）的零點；
（2）直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)列式求得λ的值；
（3）由不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，分離參數(shù)λ，換元后利用配方法求得最小值得答案．

解答 解：（1）當λ=-4時，f（x）=3^x-4•3^-x，
令f（x）=0，得3^x-4•3^-x=0，
即（3^x）²-4=0，解得x=log₃2．
故函數(shù)f（x）的零點為log₃2；
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
∴3^-x+λ•3^x=3^x+λ•3^-x，即（1-λ）（3^-x-3^x）=0．
又∵3^-x-3^x不恒為零，
∴1-λ=0，即λ=1；
（3）由f（x）≤6，得3^x+λ•3^-x≤6，
即${3}^{x}+\frac{λ}{{3}^{x}}≤6$．
令t=3^x∈[1，9]，原不等式等價于$t+\frac{λ}{t}≤6$在t∈[1，9]恒成立．
亦即λ≤-t²+6t在t∈[1，9]上恒成立．
令g（t）=-t²+6t，t∈[1，9]．
當t=9時，g（t）有最小值g（9）=-27．
∴λ≤-27．

點評 本題考查函數(shù)零點的求法，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，訓練了利用分離變量法求解恒成立問題中的參數(shù)范圍問題，是中檔題．