Question

（2003•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x+2（

2x

+1）（x≥0）．
（Ⅰ）求f（x）的反函數(shù)，并指出其定義域；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}（a_n＞0）的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N），若對于所有大于1的自然數(shù)n都有S_n=f（S_n-1），且a₁=2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令b_n=

(an+1-an)2

2anan+1

(n∈N)，求

：

lim n→∞

(b1+b2+…+bn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)y=f（x），通過解方程可求得x，然后交換變量字母，注意反函數(shù)定義域的求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=(

Sn-1

+

2

)2，易知S_n＞0，從而得

Sn

=

Sn-1

+

2

，可判斷數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，公差為

2

，

S1

=

a1

=

2

，由此可求S_n，再根據(jù)an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，可求得a_n；
（Ⅲ）代入a_n可得bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂項(xiàng)相消法可求得b₁+b₂+…+b_n，然后求極限即可；

解答：解：(I)設(shè)y=f(x)，y=(

x

)2+2

2

x

+(

2

)2=(

x

+

2

)2，(x≥0)．
∵x≥0，∴y≥2．∴

y

=

x

+

2

．∴x=(

y

-

2

)2．
∴f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=(

x

-

2

)2，(x≥2)．
(II)∵Sn=(

Sn-1

+

2

)2，(an＞0)，
∴Sn＞0，

Sn

=

Sn-1

+

2

．即

Sn

-

Sn-1

=

2

．
所以數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，公差為

2

，

S1

=

a1

=

2

，
∴

Sn

=

2

+

2

(n-1)．即Sn=2n2(n∈N)．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，
當(dāng)n=1時，a₁=2，滿足a_n=4n-2，
∴a_n=4n-2（n∈N）．
(III)∵bn=

(an+1-an)2

2anan+1

=

(4n+2-4n+2)2

2(4n-2)(4n+2)

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b1+b2+…+bn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

．
∴

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn)=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1

)=1．

點(diǎn)評：本題考查反函數(shù)的求法、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列極限，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．