Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點．

(1)證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線．

(2)設(shè)AA₁＝AC＝AB，求二面角A_1－AD－C₁的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖所示，設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB． 　　∵AB＝BC， 　　∴BO⊥AC． 　　又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， 　　∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， 　　∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線． 　　(2)連接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1為正方形， 　　∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1， 　　∴A1E⊥平面ADC1，作EF⊥AD，垂足為F，連接A1F，則A1⊥AD，∠A1FE為二面角A1－AD－C1的平面角． 　　不妨設(shè)AA1＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝， 　　tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 　　所以二面角A1ADC1為60°．

提示：

由線面垂直，證線線垂直．