Question

已知f（x）是定義在R上，且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的值為（　　）（k∈z）

• A．k
• B．2k
• C．2k或2k-

  1

  4

• D．k或k-

  1

  4

Answer 1

分析：利用函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，利用直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求a的值．

解答：解：因?yàn)閒（x）是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，所以當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．
①由圖象可知當(dāng)直線y=x+a經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0）時(shí)，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a=0，由于函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，所以當(dāng)a=2k時(shí)，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
②由圖象可知直線y=x+a與f（x）=x²相切時(shí)，直線y=x+a與曲線y=f（x）也恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=

1

2

，所以y=

1

4

，即切點(diǎn)為（

1

2

，

1

4

），代入直線y=x+a得a=-

1

4

．
由于函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，所以當(dāng)a=2k-

1

4

時(shí)，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為a=2k或a=2k-

1

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩個(gè)曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，要充分利用函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決，綜合性較強(qiáng)．