定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足下列條件:
①f(x)是偶函數(shù);②對任意非負實數(shù)x、y,都有f(x+y)=2f(x)f(y);③當x>0時,恒有f(x)>
12

(1)求f(0)的值;
(2)證明:f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù);
(3)若f(3)=2,解關(guān)于a的不等式f(a2-2a-9)≤8.
分析:(1)令x=0,y=1,易由f(x+y)=2f(x)f(y)求出f(0)的值;
(2)設(shè)0≤x1<x2,根據(jù)當x>0時,恒有f(x)>
1
2
及f(x)是偶函數(shù),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷出f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù);
(3)令x=y=3,則f(6)=8,由(2)中函數(shù)的單調(diào)性,可將抽象不等式具體為|a2-2a-9|≤6,解絕對值不等式可得答案.
解答:解:(1)解:令x=0,y=1,
則f(1)=2f(0)•f(1),
f(1)>
1
2

f(0)=
1
2
.…(4分)
(2)∵當x>0時,恒有f(x)>
1
2
,又f(x)是偶函數(shù),
∴當x<0時,f(x)=f(-x)>
1
2

f(0)=
1
2
,f(x)>0恒成立.…(6分)
設(shè)0≤x1<x2,則x2-x1>0,f(x2-x1)>
1
2

∴f(x2)=2f(x1)f(x2-x1)>f(x1),…(9分)
∴f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).…(10分)
(3)令x=y=3,則f(6)=2f2(3)=8,…(12分)
∴f(a2-2a-9)=f(|a2-2a-9|)≤f(6),
由f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
得|a2-2a-9|≤6,…(14分)
a2-2a-9≥-6
a2-2a-9≤6
,
解得
a≤-1或a≥3
-3≤a≤5
,
∴-3≤a≤-1或3≤a≤5.…16 分
點評:本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),熟練掌握抽象函數(shù)“湊”的思想是解答的關(guān)鍵,本題難度中檔.
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定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對于一切實數(shù)都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).給出如下命題:
①對給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個;
②定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);
③g(x)=2x為函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù);
④g(x)=
1
2
x
為函數(shù)f(x)=x2的一個承托函數(shù).
其中,正確的命題個數(shù)是(  )
A、0B、1C、2D、3

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已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn,(x∈N*),其導函數(shù)記為fn′(x),且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1x2-x1
,其中a,x1,x2為常數(shù),x1≠x2.設(shè)函數(shù)g(x)=f1(x)+mf2(x)-lnf3(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)無極值點,其導函數(shù)g′(x)有零點,求m的值;
(Ⅲ)求函數(shù)g(x)在x∈[0,a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足xf(x)為偶函數(shù),f(x+2)=-f(x),(x∈R) 且當1≤x≤3時,f(x)=(2-x)3
(1)求-1≤x≤0時,函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求f(2008)、f(2008.5)的值.

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已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=
x
2
+2,則f-1(x+1)的表達式是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)滿足:
(1)對任意的x,y∈R,f(x+y)=2f(x)•f(y),(2)f(0)=
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請寫出滿足上述條件(1)和(2)的一個函數(shù)
f(x)=2x-1或2-x-1
f(x)=2x-1或2-x-1
(寫出一個即可)

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