如圖,已知平面α∩平面β=MN,A∈α,B∈β,C∈MN且∠ACM=60°,∠BCN=45°,二面角A-MN-B=60°,AC=2.
(Ⅰ)求點(diǎn)A到平面β的距離;
(Ⅱ)設(shè)二面角A-BC-M的大小為θ,求tanθ的值.

【答案】分析:(I)由題意及圖形作AO⊥β于O,AD⊥AN于D,連接OD,知∠ADO=60°,然后在直角三角形中求解即可;
(II)如圖,在β平面內(nèi),過點(diǎn)O作直線BC的垂線,垂足為F,與直線MN交于E點(diǎn),∠AOF為二面角A-BC-M的平面角,然后再三角形中求解即可.
解答:解:(Ⅰ)如圖,
作AO⊥β于O,AD⊥AN于D,連接OD,知∠ADO=60°,
在Rt△ADC中,易得AD=CD=1,在Rt△ADO中,OD=,AO=
(Ⅱ)如圖,在β平面內(nèi),過點(diǎn)O作直線BC的垂線,垂足為F,與直線MN交于E點(diǎn),
易證∠AOF為二面角A-BC-M的平面角,
由已知得∠BCN=∠ECF=∠CEF=45°,
可求得OE=,DE=DO=,EC=,EF=×,OF=OE+EF=,

點(diǎn)評:此題重點(diǎn)考查了利用二面角平面角的概念及在三角形中求解角的大小,還考查了學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力.
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