【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.

(1)若以為直徑的圓內切于圓，求橢圓的長軸長；

(2)當時，問在軸上是否存在定點，使得為定值？并說明理由.

【答案】(1) 橢圓長軸長為6 (2) 在軸存在定點，使得為定值

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖形的幾何特點得到，兩個圓相內切時，兩個圓的圓心距等于兩個圓的半徑，，進而得到參數(shù)值a=3;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)韋達定理得到，進而得到參數(shù)值.

解析：

(1)設的中點為，在三角形中，由中位線得：

.

當兩個圓相內切時，兩個圓的圓心距等于兩個圓的半徑，即，

所以，橢圓長軸長為6.

(2)由已知，，，所以橢圓方程為.

當直線斜率存在時，設直線方程為.

設，，

由，得，

∴恒成立.

∴，，

，

設，

，

當即時為定值

當直線斜率不存在時，不妨設，，

當時，為定值.

綜上：在軸存在定點，使得為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，且點到橢圓上任意一點的最大距離為3，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點，與橢圓相交于、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2017年6月深圳地鐵總公司對深圳地鐵1號線30個站的工作人員的服務態(tài)度進行了滿意度調查，其中世界之窗、白石洲、高新園、深大、桃園、大新6個站的得分情況如下：

地鐵站

世界之窗

白石州

高新園

深大

桃園

大新

滿意度得分

70

76

72

70

72

x

已知6個站的平均得分為75分.

（1）求大新站的滿意度得分x，及這6個站滿意度得分的標準差；

（2）從表中前5個站中，隨機地選2個站，求恰有1個站得分在區(qū)間（68，75）中的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.

（1）求圓的圓心到直線的距離；

（2）設圓與直線交于點，，若點的坐標為，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某工廠的一個車間抽取某種產品50件，產品尺寸（單位：）落在各個小組的頻數(shù)分布如下表：

數(shù)據(jù)分組

頻數(shù)

3

8

9

12

10

5

3

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產品尺寸落在的概率；

（2）求這50件產品尺寸的樣本平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）根據(jù)頻數(shù)分布對應的直方圖，可以認為這種產品尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經計算得.利用該正態(tài)分布，求.

附：（1）若隨機變量服從正態(tài)分布，則

，；

（2）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是：（是參數(shù)，是常數(shù)）.以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點，且，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求的反函數(shù)的圖象上點（1，0）處的切線方程；

（Ⅱ）證明：曲線與曲線有唯一公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】祖暅是我國齊梁時代的數(shù)學家，是祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容易.”這里的“冪”指水平截面的面積.“勢”指高，這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等。于是可把半徑相等的半球(底面在下)和圓柱(圓柱高等于半徑)放在同一水平面上，圓柱里再放一個半徑和高都與圓柱相等的圓錐(錐尖朝下)，考察圓柱里被圓錐截剩的立體，這樣在同一高度用平行平面截得的半球截面和圓柱中剩余立體截得的截面面積相等，因此半球的體積等于圓柱中剩余立體的體積.設由橢圓所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖，稱為“橢球體”)，請類比以上所介紹的應用祖暅原理求球體體積的做法求這個橢球體的體積.其體積等于________.

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