Question

5．如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．
（1）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（2）若平面PAD與PBC所成的銳二面角的大小為$\frac{π}{3}$，求線段PD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PC交DE于點(diǎn)N，連結(jié)MN，MN∥AC，由此能證明AC∥平面MDE．
（2）設(shè)PD=a，（a＞0），推導(dǎo)出PD⊥平面ABCD，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段PD的長(zhǎng)度．

解答 證明：（1）設(shè)PC交DE于點(diǎn)N，連結(jié)MN，
在△PAC中，∵M(jìn)，N分別是PA，PC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，
又AC?平面MDE，MN?平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（2）設(shè)PD=a，（a＞0），
∵四邊形PDCE是矩形，四邊形ABCD是梯形，
平面PDCE⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD，
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PC}=（0，2，-a），\overrightarrow{CB}=（1，-1，0）$，
平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2y-az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=x-y=0}\end{array}\right.$，取x=a，得$\overrightarrow{m}$=（a，a，2），
∵平面PAD與PBC所成的銳二面角的大小為$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$．
∴線段PD的長(zhǎng)度為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．