Question

13．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意n∈N^*，它的前n項(xiàng)和S_n，滿足S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），并且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列（a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1，進(jìn)而計算可知a_n-a_n-1=3，利用a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列可知a₁=1，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{6}$（a_n-1+1）（a_n-1+2），
兩式相減得：6a_n=（${{a}_{n}}^{2}$+3a_n）-（${{a}_{n-1}}^{2}$+3a_n-1），
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=3，
又∵S₁=$\frac{1}{6}$（a₁+1）（a₁+2），
∴${{a}_{1}}^{2}$-3a₁+2=0，即a₁=1或a₁=2，
又∵a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，
∴$（{a}_{1}+9）^{2}$=（a₁+3）（a₁+24），
解得：a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵a_n=3n-2，
∴a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_n-1a_n-a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=-6（a₂+a₄+…+a_n）
=-6×$\frac{\frac{n}{2}（4+3n-2）}{2}$
=-$\frac{9{n}^{2}+6n}{2}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=T_n-1+a_na_n+1
=-$\frac{9（n-1）^{2}+6（n-1）}{2}$+（3n-2）（3n+1）
=$\frac{9}{2}$n²+3n-$\frac{7}{2}$；
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9{n}^{2}+6n}{2}，}&{n為偶數(shù)}\\{\frac{9{n}^{2}+6n-7}{2}，}&{n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．