Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=M為側(cè)棱CC₁上一點(diǎn)，AM⊥A₁C；
（1）求證：B₁C₁∥平面A₁BC；
（2）求異面直線A₁B與AC所成的角的余弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面ABM的距離．

Answer 1

解：（1）證明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，
∴∠BA₁C₁或其補(bǔ)角是異面直線A₁B與AC所成的角．
連接BC₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁C₁，
又∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，即A₁C₁⊥B₁C₁
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∴BC₁?平面BB₁C₁C，
∴A₁C₁⊥BC₁，
在Rt△BCC₁中，BC=1，CC₁=AA₁=，
∴BC₁=
在Rt△ABC₁中，A₁C₁=，BC₁=，
∴A₁B=
∴．
（3）過點(diǎn)C作CD⊥AB于N，連接MD，過點(diǎn)C作CH⊥MD于H，
∵CC₁⊥平面ABC，
∴由三垂線定理，得MD⊥AB，
∴AB⊥平面MCD，
∴AB⊥CH，又CH⊥MD，
∴CH⊥平面ABM，即CH為點(diǎn)C到平面ABM的距離．
在平面A₁ACC₁中，由A₁C⊥AM，易得△A₁AC∽△ACM，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，AB=．
∴，
∴，
在Rt△MCD中，MD=．
∴．
分析：（1）利用直棱柱的性質(zhì)說明B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，即可證明B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）說明∠BA₁C₁或其補(bǔ)角是異面直線A₁B與AC所成的角．連接BC₁，求出BC₁=，在Rt△ABC₁中，求出的值即可．
（3）過點(diǎn)C作CD⊥AB于N，連接MD，過點(diǎn)C作CH⊥MD于H，說明CH為點(diǎn)C到平面ABM的距離．
通過△A₁AC∽△ACM，求出CM，在Rt△MCD中，求出MD，利用，解出CH．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的平行，異面直線所成的角，點(diǎn)到平面的距離的求法，找出異面直線所成的角與點(diǎn)到平面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力．