Question

設函數f（x）=

a

2

x2-1+cosx(a＞0)
（1）當a=1時，證明：函數y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）若y=f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，求正數a的范圍；
（3）在（1）的條件下，設數列{a_n} 滿足：0＜an＜1，且a _n+1=f（an），求證0＜a _n+1＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，求出函數的導數，證明函數的導數在（0，+∞）上大于0恒成立，即可說明函數是增函數；
（2）y=f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，故其導數在（0，+∞）上恒大于0，由此不等式求正數a的范圍；
（3）本題中的不等式與自然數有關，此類不等式一般采用數學歸納法證明，故有數學歸納法的做題步驟證明0＜a _n+1＜a_n＜1．

解答：解：（1）當a=1時，函數f（x）=

1

2

x2-1+cosx，g（x）=f′（x）=x-sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，故函數y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）由f（x）=

a

2

x2-1+cosx(a＞0)
h（x）=f′（x）=ax-sinx
若y=f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，
則f′（x）=ax-sinx＞0恒成立…（5分）
當a≥1時，對任意x∈（0，+∞），
恒有ax≥x＞sinx，此時f′（x）=ax-sinx＞0
所以y=f（x）在（0，+∞）上是單調增函數
當0＜a＜1時，h′（x）=a-cosx
令導數h′（x）=0
得cosx=a在（0，

π

2

）上存在x₀使得cosx₀=a
當x∈（0，x₀），h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f′（0）=0
這與y=f（x）在（0，+∞）上是單調增函數即f′（x）=ax-sinx＞0
恒成立矛盾，所以a≥1
（3）由（1）當0＜x＜1，0=f（0）＜f（x）＜F（1）=-

1

2

+cos1＜1
當0＜a₁＜1，a₂=f（a₁）∈（0，1），假設0＜a_k＜1，則a_k+1=f（a_k）∈（0，1），
又a_n-a_n+1=a_n-

1

2

a_n²+1-cosa_n，
因為a_n-

1

2

a_n²+1∈（1，

3

2

），cos1＜cosa_n＜1所以
a_n-a_n+1=a_n-

1

2

a_n²+1-cosa_n＞0，即a_n＞a_n+1，
所以0＜a _n+1＜a_n＜1

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是了解導數的符號與函數單調性的關系，且能根據這一關系證明單調性，及根據它建立不等式求參數，本題中第三小題用到了數學歸納法證明不等式，要注意數學歸納法的步驟．本題運算過程較長，運算量較大，解題時要嚴謹認真，避免運算出錯導致解題失�。�