Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N⁺）
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)果猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，通過n=1，2，3，直接計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)果猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．

解答：解：（Ⅰ） 由a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=

1

3

，
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=

1+ 1 3

3- 1 3

=

1

2

，
當(dāng)n=3時(shí)，a₃=

1+ 1 2

3- 1 2

=

3

5

，
（Ⅱ）由以上結(jié)果猜測：an=

n-1

n+1

（6分）
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a₁=0，右邊═0，等式成立．（8分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即ak=

k-1

k+1

成立．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

k+1+k-1

3k+3-k+1

=

2k

2k+4

=

k

k+2

=

(k+1)-1

(k+1)+1

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立．
由（1）和（2），可知猜測an=對(duì)于任意正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于中檔題．