Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-2(a+2)lnx+ax，a∈R
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）（

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，即f′（x）=x-

2(a+2)

x

+a＞a恒成立，由此可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，則f′（x）=x-

2

x

-1=

(x-2)(x+1)

x

，
∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-2ln2；
（2）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
∴f′（x）=x-

2(a+2)

x

+a＞a恒成立，
∴2（a+2）＜x²，
∴a+2≤0，
∴a≤-2．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．