Question

（本題滿分15分）已知函數(shù)

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量

使得的值相等，若存在，請(qǐng)求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由？

 

Answer 1

【答案】

解：（I）由已知得，  …………………………………………2分

則當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，  …………………………5分

故函數(shù)的極小值為．．……………………………………………6分

（II）若存在，設(shè)，則對(duì)于某一實(shí)數(shù)方程在上有三個(gè)不等的實(shí)根，  …………………………………………………………………8分

設(shè)，

則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．  ………………………10分

方法一：有兩個(gè)不同的解，設(shè)，

則，

設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時(shí)，即，…………………………………12分

又，則故在上是增函數(shù)， ……………………14分

則至多只有一個(gè)解，故不存在．………………………15分

方法二：關(guān)于方程的解，

當(dāng)時(shí)，由方法一知，則此方程無解,當(dāng)時(shí)，可以證明

是增函數(shù)，則此方程至多只有一個(gè)解，故不存在．

 

【解析】略