Question

19．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ，曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（I）．求C₂與C₁交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）若C₂與C₁相交于點(diǎn)A，C₃與C₁相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，相除法即可得出直角坐標(biāo)方程．曲線C₂：ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+y²=2y，聯(lián)立即可解出．
（II）曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．化為ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化為直角標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$x，聯(lián)立即可解出．利用兩點(diǎn)之間的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出|AB|的最大值是4．

解答 解：（I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，化為直角坐標(biāo)方程：y=xtanα，0≤α＜π，
曲線C₂：ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，化為直角標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+y²=2y，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化為（1+tan²α）x²-2xtanα=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=sin2α}\\{y=2si{n}^{2}α}\end{array}\right.$．
∴交點(diǎn)直角坐標(biāo)（0，0），（sin2α，2sin²α）．
（II）曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．化為ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，化為直角標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
化為（1+tan²α）x²-2$\sqrt{3}$x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}co{s}^{2}α}\\{y=\sqrt{3}sin2α}\end{array}\right.$．
∴交點(diǎn)直角坐標(biāo)（0，0），（$2\sqrt{3}co{s}^{2}α$，$\sqrt{3}$sin2α）．
|AB|=$\sqrt{（sin2α-2\sqrt{3}co{s}^{2}α）^{2}+（2si{n}^{2}α-\sqrt{3}sin2α）^{2}}$=$\sqrt{8-8sin（2α-\frac{π}{6}）}$，
∵0≤α＜π，∴$-\frac{π}{6}$≤2α$-\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴$sin（2α-\frac{π}{6}）$∈[-1，1]．
∴|AB|=$\sqrt{8-8sin（2α-\frac{π}{6}）}$≤4，當(dāng)$sin（2α-\frac{π}{6}）$=-1，即α=$\frac{5π}{6}$時(shí)取等號(hào)．
∴|AB|的最大值是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．