Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若且，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)代入,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.

(2)易得,因為,故分與兩種情況分析導數(shù)的正負,從而得出單調(diào)區(qū)間即可.

(3)根據(jù)(2)中的單調(diào)性,分與兩種情況討論的單調(diào)性,并求出最值,再根據(jù)的值域滿足的關(guān)系結(jié)合題意求解即可.

（1）若,則,故,,,

∴所求切線方程為；

（2）函數(shù)的定義域為,,

當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,

當時,令得,令得,故函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增；

（3）當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,

又,而,不合題意；

當時,由（2）可知,,

（i）當,即時,,不合題意；

（ii）當,即時,,滿足題意；

（iii）當,即時,則,

∵,函數(shù)在單調(diào)遞增,

∴當時,,

又∵函數(shù)的定義域為,

∴,滿足題意.

綜上,實數(shù)的取值范圍為.