Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0），若f（x）在[

1

2

，2]上的值域?yàn)閇

1

2

，2]，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求f（x）在[

1

2

，2]上的值域，根據(jù)已知的值域[

1

2

，2]即可求出a．

解答： 解：∵f′（x）=

1

x2

＞0恒成立，
∴f（x）在[

1

2

，2]上增函數(shù)，
∵f（x）在[

1

2

，2]上的值域?yàn)閇

1

2

，2]，
∴f（

1

2

）=

1

a

-2=

1

2

，f（2）=

1

a

-

1

2

=2，
解得a=

2

5

故答案為：

2

5

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．