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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
若數(shù)列{an}滿足：對任意的n∈N﹡，只有有限個正整數(shù)m使得am＜n成立，記這樣的m的個數(shù)為（an）+，則得到一個新數(shù)列{（an）+}．例如，若數(shù)列{an}是1，2，3…，n，…，則數(shù)列{（an）+}是0，1，2，…，n-1…已知對任意的n∈N+，an=n2，則（a5）+= ，（（an）+）+= ．
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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
已知函數(shù)f（x）=
sin2x-2sin
2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點的集合．
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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中x的值．
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．
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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
如圖所示，在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中，E是棱DD
1的中點．
（Ⅰ）求直線BE與平面ABB
1A
1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C
1D
1上是否存在一點F，使B
1F∥平面A
1BE？證明你的結論．
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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖）．在直線x=2的右側，考察范圍為到點B的距離不超過
km的區(qū)域；在直線x=2的左側，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過4
km的區(qū)域．
（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設線段P
1P
2，P
2P
3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間．
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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），對任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）證明：當x≥0時，f（x）≤（x+c）2；
（Ⅱ）若對滿足題設條件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，求M的最小值．
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科目：
來源：2010年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
數(shù)列{a
n}（n∈N
*）中，a
1=a，a
n+1是函數(shù)
的極小值點．
（Ⅰ）當a=0時，求通項a
n；
（Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列{a
n}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：
來源：1956年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（解析版）
題型：解答題
利用對數(shù)性質計算lg25+lg2•lg50．
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科目：
來源：1956年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（解析版）
題型：解答題
設m是實數(shù)，求證方程2x2-（4m-1）x-m2-m=0的兩根必定都是實數(shù)．
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科目：
來源：1956年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（解析版）
題型：解答題
設M是△ABC的邊AC的中點，過M作直線交AB于E，過B作直線平行于ME交AC于F．求證：△AEF的面積等于△ABC的面積的一半．
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