如圖，已知△ABC的兩邊AB，AC的中點(diǎn)分別為M，N，在BN的延長線上取點(diǎn)P，使NP＝BN，在CM的延長線上取點(diǎn)Q，使MQ＝CM，用向量方法證明P，A，Q三點(diǎn)共線．

利用向量方法證明△ABC的三條高交于一點(diǎn)．

在△ABC中，設(shè)向量，，求證：△ABC的面積S＝．

如圖，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線，用向量方法證明AC⊥BD．

設(shè)O為△ABC中任意一點(diǎn)，D，E，F分別為各邊中點(diǎn)，試證．

在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)．

(1)若設(shè)＝e₁，＝e₂，試以e₁，e₂為基底表示，，，；

(2)若設(shè)＝z₁，＝z₂，試以z₁，z₂為基底表示，，，．

1 kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下處于平衡狀態(tài)(如圖)，已知兩細(xì)繩與水平線分別成30°，60°．這兩根細(xì)繩各受到多大的力？

一個(gè)30°的光滑斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為1 kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動，應(yīng)沿斜面方向給球多大的力？若表示球的重力的向量為p，球?qū)π泵娴膲毫��?B>w，則球的重力沿斜面方向的分力f如何表示？保持球在斜面上靜止不動的推力又如何表示？(重力加速度g取10 m/s²)

一位模型賽車搖控一輛賽車向正東方向前行進(jìn)1 m，然后逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)角度α，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1 m，再逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)角度α，按直線向前行進(jìn)1 m，按此方法繼續(xù)操作下去．

(1)按1∶50比例作圖說明當(dāng)α＝45°時(shí)，操作幾次時(shí)賽車的位移為0；

(2)按此法操作使賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，α應(yīng)滿足什么條件？請寫出其中兩個(gè)，并按1∶50比例用向量表示位移．

如果|a|＝|b|＝k，那么a＝b成立，求k應(yīng)滿足的條件．