記函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數(shù)f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數(shù)f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數(shù)a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離d=

|x-y|

2

．在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個不動點分別為A₁，A₂，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點，其縱坐標y_P＞3，求點P到直線A₁A₂距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（　　）

A．f（x）=2x

B．f(x)=x 1 2

C．f（x）=lg（-x）

D．f（x）=sin2x

函數(shù)F(x)=

1

x

+x在其定義域上是 ______函數(shù)（選填“奇”或“偶”）．

已知函數(shù)f（x）滿足f(x)=ln

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定義域；判斷f（x）的奇偶性及單調性并給予證明；
（2）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0．求實數(shù)m的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=x²-2cosx，對于[-

2π

3

， 

2π

3

]上的任意x₁，x₂有如下條件：①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂² ；③x₁＞|x₂|，
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是______ （填寫序號）

函數(shù)f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）的圖象關于原點對稱．
（1）求m，n的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)；    注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
（3）x∈[-2，2]時，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，則不等式xf（2x）＜0的解集為______．

已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，則滿足f（2^x-3）＜f（-1）的x的集合是______．

已知奇函數(shù)f（x），偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求證：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）設f（x）的反函數(shù)f-1(x)，當a=

2

-1時，比較f^-1[g（x）]與-1的大小，證明你的結論；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比較f（n）與nf（1）的大小，并證明你的結論．

關于x的不等式x²+25+|x³-5x²|≥ax在[1，12]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．