已知函數．
（Ⅰ）若是上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；
（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數a，試探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x₀；如果不存在，請說明理由．

已知函數（為自然對數的底數）.
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若存在使不等式成立，求實數的取值范圍.

已知函數.
（Ⅰ）設，求的最小值；
（Ⅱ）如何上下平移的圖象，使得的圖象有公共點且在公共點處切線相同.

設函數.
(Ⅰ)求函數單調遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當時，求函數的最大值和最小值.

設函數；
(Ⅰ)求證：函數在上單調遞增；
(Ⅱ)設，若直線PQ∥x軸，求P,Q兩點間的最短距離.

定義在上的函數同時滿足以下條件：
①在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數；
②是偶函數；
③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直．
(1)求函數＝的解析式；
(2)設g(x)＝，若存在實數x∈[1，e]，使<，求實數m的取值范圍.

已知函數，且是函數的一個極小值點.
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.

已知函數.
（1）當時，的圖象在點處的切線平行于直線，求的值；
（2）當時，在點處有極值，為坐標原點，若三點共線，求的值.

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關于的函數關系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

已知函數.
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數的值；
（Ⅱ）若函數在處取得極小值，且，求實數的取值范圍.