已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²，則函數(shù)y=f（x）與y=log₇x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．

合肥一中生活區(qū)內(nèi)建有一塊矩形休閑區(qū)域ABCD，AB=100米，BC=50

3

米，為了便于同學(xué)們平時(shí)休閑散步，學(xué)校后勤部門將在這塊區(qū)域內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF，考慮到學(xué)校整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且OE⊥OF，如圖所示．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長(zhǎng)L表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為800元，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

若向量

a

，

b

滿足：|

a

|=1，（

a

+

b

）⊥

a

，（2

a

+

b

）⊥

b

，則|

b

|=．

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是線段AD₁和B₁C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP=B₁Q，則下列命題正確的是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在P、Q的某一位置，使AB∥PQ；
②△BPQ的面積為定值；
③當(dāng)PA＞0時(shí)，直線PB₁與AQ是異面直線；
④無(wú)論P(yáng)、Q運(yùn)動(dòng)到任一位置，均有BC⊥PQ；
⑤P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成區(qū)域的面積為

1

2

．

已知函數(shù)f（x）=-alnx+

2a2

x

+x
（Ⅰ）若a＞0，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=

1

2

x垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≥-e^-4．

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R），
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，則f（x）=x²-6x+4lnx的“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是（　　）

若從5名男歌手和4名女歌手中各選一人參加“星光大道”節(jié)目，則不同的選法種數(shù)是（　�。�

若6個(gè)人排成前后兩排，每排3人，則不同的排法有種．（要求用數(shù)字作答）

在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱AB、BC上的點(diǎn)，且BM=BN，點(diǎn)P是棱A₁D₁上一點(diǎn)，A₁P=1，過(guò)P、M、N的平面與棱C₁D₁交于點(diǎn)Q，求PQ的長(zhǎng)．