橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

6

3

，并與直線(xiàn)y=x+2相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)圓D：x²+y²=4上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線(xiàn)m，n． 求證：m⊥n．

某種商品的成本為5元/件，開(kāi)始按8元/件銷(xiāo)售，銷(xiāo)售量為50件，為了獲得最大利潤(rùn)，商家先后采取了提價(jià)與降價(jià)兩種措施進(jìn)行試銷(xiāo)．經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：日銷(xiāo)售量Q（件）與實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)x（元）滿(mǎn)足關(guān)系：
Q=

50-10(x-8)，8≤x＜13 39(2x2-29x+107)，(5＜x＜7) 198-6x x-5 ，(7≤x＜8)

（1）求總利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本）y（元）與銷(xiāo)售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試問(wèn)：當(dāng)實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，總利潤(rùn)最大．

已知函數(shù)f（x）=

0，|x|≤1 2x 1+2x ，|x|＞1

，那么f（1）+f（2）+f（-2）+f（3）+f（-3）+f（4）+f（-4）=．

已知函數(shù)f（x）=2xlnx+x²-ax+3，其中a∈R．
（Ⅰ）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈[

1

e

，e]（e=2.718…）上恒成立，求a的取值范圍．

若n∈N^*，求證

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜

1

2

(n+2)2．

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx-26（a，b∈R）在x=-3和x=2處取到極值．
（1）求a，b和f（-3）-f（2）的值；
（2）求最大的正整數(shù)t，使得?x₁，x₂∈[-t，t]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤125與|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125同時(shí)成立．

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

k(x-1)

x

．
（1）當(dāng)k=e時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的值．

如圖，菱形ABCD與矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=

π

3

．
（Ⅰ）求證：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，當(dāng)二面角A-EF-C為直二面角時(shí)，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求直線(xiàn)BC與平面AEF所成的角θ的正弦值．

已知函數(shù)f（x）=

(4- a 2 )x+4(x≤6) ax-5(x＞6)

，（a＞0，a≠1）．若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=f（n）且a_n+1＞a_n，n∈N^*，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax+b（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b∈R）．
（1）求函數(shù) y=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，若函數(shù) y=

1

f(x)+g(x)

在（-1，+∞）上有意義，求b的取值范圍；
（3）如果0≤a≤

1

2

，b=1，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，

1

f(x)

+

x

g(x)

≥1．