已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2（a+1）lnx，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

點(diǎn)A（1，1）在圓C：x²+y²-x+y+m=0的外部．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍； 
（2）若m=-

1

4

，且過(guò)點(diǎn)A（1，1）的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為

2

，求直線l的方程．

已知數(shù)列

1

1×3

，

1

1×5

，

1

5×7

，

1

7×9

，…

1

(2n-1)×(2n+1)

，計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推測(cè)S_n的計(jì)算公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

已知等差數(shù)列{a_n}中，前5項(xiàng)和前10項(xiàng)的和分別為25和100．?dāng)?shù)列{b_n}中，b_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+1．
（1）求a_n、b_n；
（2）設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤x₁＜x₂．求證：ex2-x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=e^x-

x

x+1

lnx-f（x），證明：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，總能找到實(shí)數(shù)m（a），使g[m（a）]＜a成立．注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

已知 如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，A（-1，-2），B（6，5），D（0，2）．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)．

甲乙兩人進(jìn)行掰手腕比賽，比賽規(guī)則規(guī)定三分鐘為一局，三分鐘內(nèi)不分勝負(fù)為平局，當(dāng)有一人3局就結(jié)束比賽，否則繼續(xù)進(jìn)行，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每乙甲勝的概率為

1

2

，乙勝的概率為

1

3

，且每局比賽勝負(fù)互不受影響．
（Ⅰ）求比賽4局乙勝的概率；
（Ⅱ）求在2局比賽中甲的勝局?jǐn)?shù)為ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，比賽進(jìn)行五局，積分有超過(guò)5分者比賽結(jié)束，否則繼續(xù)進(jìn)行，求甲得7分的概率．

已知二次函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-kx在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

有一杯糖水，重b克，其中含糖a克，現(xiàn)在向糖水中再加m克糖，此時(shí)糖水變得更甜了．（其中a，b，m∈R⁺）．
（1）請(qǐng)從上面事例中提煉出一個(gè)不等式（要求：①使用題目中字母；②標(biāo)明字母應(yīng)滿足條件）
（2）利用你學(xué)過(guò)的證明方法對(duì)提煉出的不等式進(jìn)行證明．

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在區(qū)間[0，3]上有最大值10，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．