如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（x₁，y₁）在單位圓O上，∠xOA=α，且α∈（

π

6

，

π

2

）．
（1）若cos（α+

π

3

）=-

11

13

，求x₁的值；
（2）若B（x₂，y₂）也是單位圓O上的點，且∠AOB=

π

3

．過點A、B分別做x軸的垂線，垂足為C、D，記△AOC的面積為S₁，△BOD的面積為S₂．設f（α）=S₁+S₂，求函數(shù)f（α）的最大值．

數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，S_n=

1

2

n（n+1）b₁，b₇=21，數(shù)列{a_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n+1）．
（1）求a_n；
（2）T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n；
（3）求證：

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

1

2

．

已知某山區(qū)小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組，現(xiàn)要從中抽取10名學生，各組內抽取的編號依次增加10進行系統(tǒng)抽樣．
（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學生的號碼；
（2）分別統(tǒng)計這10名學生的數(shù)學成績，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求這樣本的方差；
（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名，記ξ為成績大于75分的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB交CD于O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P為SB的中點．
（1）求證：SA∥平面PCD；
（2）求圓錐SO的表面積；求圓錐SO的體積．
（3）求異面直線SA與PD所成角的正切值．

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）求PC與平面ACE所成角的正弦值．

已知多面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，平面ABCD與平面ADE垂直，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，點G為邊BC的中點，且AB=AD=2，CD=4，EF=3．
（1）求證：FG⊥平面ABCD；
（2）若∠ADC=120°，求二面角F-BD-E的正弦值．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA₁=AB=6，D為AC的中點．
（1）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）求三棱錐C-BC₁D的體積．

某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面、反面的概率均為

1

2

．構造數(shù)列{a_n}，使得a_n=

1當?shù)趎次出現(xiàn)正面時 -1當?shù)趎次出現(xiàn)反面時

，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n（n∈N^*）．
（1）求S₄=2的概率．
（2）若前兩次均出現(xiàn)正面，求2≤S₆≤6的概率．

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）；
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）＜0對x∈（0，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

如圖，設四棱錐S-ACDE的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=

2

．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設P為SD的中點，求三棱錐P-SAC的體積．