已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都相等，P為A₁B上的點，

A1P

=λ

A1B

，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求異面直線PC與AC₁所成角的余弦值．

已知圓錐曲線C的極坐標方程為ρ=

8sinθ

1+cos2θ

，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，求曲線C的直角坐標方程，并求焦點到準線的距離．

已知二階矩陣M滿足：M

0 1

=

1 0

，M

1 2

=

2 1

，求M²．

數列{a_n}的首項為1，前n項和是S_n，存在常數A，B使a_n+S_n=An+B對任意正整數n都成立．
（1）設A=0，求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}是等差數列，若p＜q，且

1

Sp

+

1

Sq

=

1

S11

，求p，q的值．
（3）設A＞0，A≠1，且

an

an+1

≤M對任意正整數n都成立，求M的取值范圍．

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，其右準線l與x軸的交點為T，過橢圓的上頂點A作橢圓的右準線l的垂線，垂足為D，四邊形AF₁F₂D為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設線段F₂D與橢圓交于點M，是否存在實數λ，使

TA

=λ

TM

？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由；
（3）若B是直線l上一動點，且△AF₂B外接圓面積的最小值是4π，求橢圓方程．

某廣場一雕塑造型結構如圖所示，最上層是一呈水平狀態(tài)的圓環(huán)，其半徑為2m，通過金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃支撐在地面B處（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圓環(huán)上的三等分點，圓環(huán)所在的水平面距地面10m，設金屬桿CA₁，CA₂，CA₃所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為θ．（圓環(huán)及金屬桿均不計粗細）
（1）當θ的正弦值為多少時，金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長最短？
（2）為美觀與安全，在圓環(huán)上設置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）個等分點，并仍按上面方法連接，若還要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長最短，對比（1）中C點位置，此時C點將會上移還是下移，請說明理由．

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，M為AB的中點．
（1）證明：CM⊥DE；
（2）在邊AC上找一點N，使CD∥平面BEN．

△ABC中，三內角A，B，C成等差數列．
（1）若b=7，a+c=13，求此三角形的面積；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍．

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函數y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定義域為集合B．
（1）若a=2，求集合B；
（2）若A=B，求實數a的值．

若函數f（x）=x³-ax²（a＞0）在區(qū)間(

20

3

，+∞)上是單調遞增函數，則使方程f（x）=1000有整數解的實數a的個數是．