如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長(zhǎng)．

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)；
（3）當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知直線x+ky-3=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明：當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)L的取值范圍．

某工廠生產(chǎn)某種兒童玩具，每件玩具的成本為30元，并且每件玩具的加工費(fèi)為t元（其中t為常數(shù)，且2≤t≤5），設(shè)該工廠每件玩具的出廠價(jià)為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例，當(dāng)每件玩具的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件．
（1）求該工廠的日利潤(rùn)y（元）與每件玩具的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件玩具的日售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤(rùn)y最大，并求y的最大值．

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）求A₁A的長(zhǎng)；
（2）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足條件

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

，n=1，2，…，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=a_np^a_n（p＞0），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

已知：命題p：函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）=1-3x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，且|g（a）|＜2．命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使命題p、q有且只有一個(gè)是真命題．

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，則正數(shù)a的范圍．

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b∈R滿(mǎn)足：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=

f(2n)

n

（n∈N^*），b_n=

f(2n)

2n

（n∈N^*），考察下列結(jié)論：
①f（0）=f（1）；
②f（x）為偶函數(shù)；
③數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
④數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
其中正確的是．（填序號(hào)）

已知集合A={x|2x-a≤0}，B={x|4x-b＞0}，a，b∈N，且（A∩B）∩N={2，3}，由整數(shù)對(duì)（a，b）組成的集合記為M，則集合M中元素的個(gè)數(shù)為．