過拋物線y²=4x的焦點F作直線l與拋物線交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證：△AOB不是直角三角形；
（Ⅱ）當l的斜率為

1

2

時，拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形且B為直角（點B位于x軸下方）？若存在，求出所有的點C；若不存在，說明理由．

（2012•鹽城一模）已知x、y、z均為正數(shù)，求證：

3

3

(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≤

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

．

變換T₁是逆時針旋轉(zhuǎn)

π

2

的旋轉(zhuǎn)變換，對應的變換矩陣是M₁；變換T₂對應用的變換矩陣是M2=

1 1 0 1

．
（Ⅰ）求點P（2，1）在T₁作用下的點P'的坐標；
（Ⅱ）求函數(shù)y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得曲線的方程．

如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，D為AO上一點，BD的延長線交⊙O于點E，過E點的圓的切線交CA的延長線于P．求證：PD²=PA•PC．

已知點P是直角坐標平面內(nèi)的動點，點P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B（點A或B不在x軸上），分別過A、B點作直線l₁：x=-2的垂線，對應的垂足分別為M、N，試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），問是否存在實數(shù)λ，使

S

2 2

=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

如圖，A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點，橢圓C的離心率為

1

2

，右準線l的方程為x=4．
（I）求橢圓的方程；
（II）設M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓記為⊙k．
（i）若M恰好是橢圓C的上頂點，求⊙k截直線PB所得的弦長；
（ii）設⊙k與直線MB交于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求該定點的坐標．

如圖，有三個生活小區(qū)（均可看成點）分別位于A、B、C三點處，AB=AC，A到線段BC的距離AO=40，∠ABO=

2π

7

（參考數(shù)據(jù)：tan

2π

7

≈

2 3

3

）．今計劃建一個生活垃圾中轉(zhuǎn)站P，為方便運輸，P準備建在線段AO（不含端點）上．
（I）設PO=x（0＜x＜40），試將P到三個小區(qū)距離的最遠者S表示為x的函數(shù)，并求S的最小值；
（II）設∠PBO=a（0＜α＜

2π

7

），試將P到三個小區(qū)的距離之和y表示為a的函數(shù)，并確定當a取何值時，可使y最小？

已知使函數(shù)f（x）=x³-ax²-1（0≤a≤M₀）存在整數(shù)零點的實數(shù)a恰有3個，則M₀的取值范圍是．

如圖，用一塊形狀為半橢圓x2+

y2

4

=1（y≥0）的鐵皮截取一個以短軸BC為底的等腰梯形ABCD，記所得等腰梯形的面積為S，則S的最大值是．