Question

16．某一行星有一質(zhì)量為m的衛(wèi)星，行星的半徑為R，衛(wèi)星離行星表面的高度為h，周期T做勻速圓周運動，求：
（1）行星的質(zhì)量
（2）行星的平均密度
（3）行星表面的重力加速度是多少？

Answer 1

分析 研究衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．不考慮天體的自轉(zhuǎn)，對任何天體表面都可以認為萬有引力等于重力．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，軌道半徑（R+h），根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{mm′}{（R+h）_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解：$m=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根據(jù)$ρ=\frac{m}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（3）根據(jù)重力等于萬有引力得$m′g=G\frac{mm′}{{R}_{\;}^{2}}$
得$g=\frac{Gm}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$
答：（1）行星的質(zhì)量$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）行星的平均密度$\frac{3π（r+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（3）行星表面的重力加速度是$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$

點評 本題考查了萬有引力在天體中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．