Question

如圖所示，在xOy平面內，直線MN和y軸之間存在沿y軸負方向的勻強電場，在第Ⅳ象限和第I象限的射線0C右下區(qū)域存在垂直紙面向內的勻強磁場，磁感應強度大小為B．有一質量為m，帶電量為+q的質點從電場左邊界上的A點沿x軸正方向射入電場，A點與原點O的距離為d，質點到達y軸上P點時，速度方向與y軸負方向的夾角為θ=30°，P點與原點O的距離為h．接著，質點進入磁場，從磁場邊界OC上的Q點（未畫出）離開磁場之后，又從y軸上的D點垂直于y軸進入電場，最后剛好回到A點．不計質點的重力，求：
（1）D點與原點O的距離；
（2）粒子從A點射入的初速度v₀；
（3）粒子在磁場中的運動時間t．

Answer 1

分析：（1）質點先做類平拋運動，進入磁場后做圓周運動，粒子射出磁場后，做勻速直線運動，再次進入電場后又做類平拋運動．D點與原點O的距離就是D點的縱坐標數值，也就是Q點的縱坐標數值，由于質點從y軸上的D點垂直于y軸進入電場，最后剛好回到A點，由兩次類平拋運動的水平位移相等，以及兩次運動的速度間的關系，可得D點與原點O的距離
（2）由粒子在勻強磁場中運動的軌跡尋找?guī)缀侮P系確定圓周運動的軌道半徑，由半徑公式得到粒子在P點的速度，對于粒子從A到P應用動能定理可得粒子在A點射入的初速度
（3）由粒子在勻強磁場中運動的軌跡尋找?guī)缀侮P系確定軌跡對應的圓心角，結合周期公式得到粒子在磁場中的運動時間t

解答：解：（1）設質點進入磁場的速度為v，質點到達y軸上P點時，速度方向與y軸負方向的夾角為θ=30°，則有：
v0=vcos30°=

v

2

質點先后兩次在電場中做類平拋運動，且水平位移相等，故運動時間關系為：
t₁=2t₂
由于在電場中加速度相等，設OD間的距離為h′，故沿y軸負方向的偏移量關系為：
h=

1

2

at

2 1

h′=

1

2

at

2 2

由以上可知：h′=

h

4

…①
（2）設圓周運動半徑為r，由幾何關系得：
h+h′=r（1+sin30°）…②
質點做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=

mv 2 0

r

…③
由①②③得：v0=

5hqB

6m

（3）設質點圓周運動周期為T，由幾何關系得，質點在磁場中的運動時間為：
t=

240°

360°

T=

2

3

×

2πm

qB

=

4πm

3qB

答：（1）D點與原點O的距離為

h

4

（2）粒子從A點射入的初速度為

5hqB

6m

（3）粒子在磁場中的運動時間為

4πm

3qB

點評：解決質點在磁場中的運動問題，關鍵是找到軌跡，定出圓心，構造三角形得到半徑表達式，然后結合半徑公式和周期公式解決