Question

一段凹槽A倒扣在水平長木板C上，槽內(nèi)有一小物塊B，它到槽兩內(nèi)側(cè)的距離均為l/2，如圖所示。木板位于光滑水平的桌面上，槽與木板間的摩擦不計，小物塊與木板間的摩擦系數(shù)為μ。A、B、C三者質(zhì)量相等，原來都靜止。現(xiàn)使槽A以大小為v0的初速向右運(yùn)動，已知v₀< 。當(dāng)A和B發(fā)生碰撞時，兩者速度互換。求：

（1）從A、B發(fā)生第一次碰撞到第二次碰撞的時間內(nèi)，木板C運(yùn)動的路程。

（2）在A、B剛要發(fā)生第四次碰撞時，A、B、C三者速度的大小。

Answer 1

解：（1）A與B剛發(fā)生第一次碰撞后，A停下不動，B以初速v₀向右運(yùn)動。由于摩擦，B向右作勻減速運(yùn)動，而C向右作勻加速運(yùn)動，兩者速率逐漸接近。設(shè)B、C達(dá)到相同速度v₁時B移動的路程為s₁。設(shè)A、B、C質(zhì)量皆為m，由動量守恒定律，得

mv₀=2mv₁                     ①

由功能關(guān)系，得

μmgs₁=2mv₀²/2-mv₁²/2            ②

由①得  v₁=v₀/2

代入②式，得  s₁=3v₀²/（8μg）

根據(jù)條件  v₀< ，得

s₁<3l/4 ③ 可見，在B、C達(dá)到相同速度v1時，B尚未與A發(fā)生第二次碰撞，B與C一起將以v₁向右勻速運(yùn)動一段距離（l-s₁）后才與A發(fā)生第二次碰撞。設(shè)C的速度從零變到v₁的過程中，C的路程為s₂。由功能關(guān)系，得

μmgs²=mv₁²/2               ④

解得  s₂=v₀²/（8μg）

因此在第一次到第二次碰撞間C的路程為s=s₂+l-s₁=l-v₀²/（4μg）    ⑤

（2）由上面討論可知，在剛要發(fā)生第二次碰撞時，A靜止，B、C的速度均為v₁。剛碰撞后，B靜止，A、C的速度均為v₁。由于摩擦，B將加速，C將減速，直至達(dá)到相同速度v₂。由動量守恒定律，得

mv₁=2mv₂                     ⑥

解得  v₂=v1/2=v₀/4

因A的速度v₁大于B的速度v₂，故第三次碰撞發(fā)生在A的左壁。剛碰撞后，A的速度變?yōu)関₂，B的速度變?yōu)関₁，C的速度仍為v₂。由于摩擦，B減速，C加速，直至達(dá)到相同速度v₃。由動量守恒定律，得

mv₁+mv₂=2mv₃                 ⑦

解得  v₃=3v₀/8 

故剛要發(fā)生第四次碰撞時，A、B、C的速度分別為

v_A=v₂=v₀/4                  ⑧

v_B=v_C=v₃=3v₀/8               ⑨