Question

7．風(fēng)洞飛行表演是一種高科技的驚險(xiǎn)的娛樂節(jié)目．在某次表演中，假設(shè)風(fēng)洞內(nèi)向上的總風(fēng)量和風(fēng)速保持不變．質(zhì)量為m的表演者通過調(diào)整身姿，可改變所受的向上的風(fēng)力大小，以獲得不同的運(yùn)動效果．假設(shè)人體受風(fēng)力大小與正對面積成正比，已知水平橫躺時(shí)受風(fēng)力面積最大，且人體站立時(shí)受風(fēng)力面積為水平橫躺時(shí)受風(fēng)力面積的$\frac{1}{8}$，風(fēng)洞內(nèi)人體可上下移動的空間總高度AC=H．開始時(shí)，若人體與豎直方向成一定角度傾斜時(shí)，受風(fēng)力有效面積是最大值的一半，恰好使表演者在最高點(diǎn)A點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)；后來，表演者從A點(diǎn)開始，先以向下的最大加速度勻加速下落，經(jīng)過某處B點(diǎn)后，再以向上的最大加速度勻減速下落，剛好能在最低點(diǎn)C處減速為零，試求：
（1）表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大��；
（2）AB兩點(diǎn)的高度差與BC兩點(diǎn)的高度差之比；
（3）表演者從A點(diǎn)到C點(diǎn)減少的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）由題意知，人體受風(fēng)力大小與正對面積成正比，設(shè)最大風(fēng)力為F_m，當(dāng)受風(fēng)力有效面積是最大值的一半時(shí)，人恰好靜止，由此可以求得重力G=$\frac{1}{2}$F_m，
人站立時(shí)所受的風(fēng)力最小，為$\frac{1}{8}$F_m，人勻加速下降的加速度最大．當(dāng)平躺時(shí)減速下落的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求向上和向下的最大加速度；
（2）對勻加速和勻減速過程，運(yùn)用運(yùn)動學(xué)速度位移公式分別列式，可求解AB兩點(diǎn)的高度差與BC兩點(diǎn)的高度差之比；
（3）表演者從A點(diǎn)到C點(diǎn)減少的機(jī)械能等于人克服風(fēng)力做功，由功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)最大風(fēng)力為F_m，由于人體受風(fēng)力大小與正對面積成正比，故人站立時(shí)風(fēng)力為$\frac{1}{8}$F_m
由于受風(fēng)力有效面積是最大值的一半時(shí)，恰好可以靜止，故可以求得人的重力 G=$\frac{1}{2}$F_m，則得 F_m=2G．
人站立時(shí)所受的風(fēng)力最小，為$\frac{1}{8}$F_m，人勻加速下降的加速度最大．根據(jù)牛頓第二定律得：
向下的最大加速度大小a₁=$\frac{mg-\frac{1}{8}{F}_{m}}{m}$=$\frac{mg-\frac{1}{8}×2mg}{m}$=$\frac{3}{4}$g
當(dāng)人平躺下降時(shí)向上的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律得：
表演者向上的最大加速度大小a₂=$\frac{{F}_{m}-mg}{m}$=g；
（2）設(shè)人下降的最大速度為v，由速度位移公式，得：
勻加速下降過程位移 x₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
勻減速下降過程位移 x₂=$\frac{{v}_{2}}{2{a}_{2}}$
故x₁：x₂=a₂：a₁=4：3
則AB兩點(diǎn)的高度差與BC兩點(diǎn)的高度差之比為4：3．
（3）表演者從A點(diǎn)到C點(diǎn)減少的機(jī)械能等于人克服風(fēng)力做功，由功能關(guān)系得：
△E=$\frac{1}{8}$F_mx₁+F_mx₂=$\frac{1}{8}$×2mg×$\frac{4}{7}$H+2mg×$\frac{3}{7}$H=mgH
答：
（1）表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大小分別為g和$\frac{3}{4}$g；
（2）AB兩點(diǎn)的高度差與BC兩點(diǎn)的高度差之比為4：3；
（3）表演者從A點(diǎn)到C點(diǎn)減少的機(jī)械能為mgH．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵將下降過程分為勻加速過程和勻減速過程，求出各個過程的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式列式研究．