Question

2．如圖甲所示，水平地面上有一輛小車，小車上固定有長為L的豎直光滑絕緣管，管的底部有一質(zhì)量m=$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$g、電荷量q=8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內(nèi)徑略�。�在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=15T的勻強(qiáng)磁場，MN面的上方存在著豎直向上、場強(qiáng)E=25$\sqrt{3}$V/m的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=5T的勻強(qiáng)磁場．在PQ左側(cè)無電場也無磁場．現(xiàn)讓小車以v=2$\sqrt{3}$m/s的速度勻速向右運(yùn)動，以帶電小球剛經(jīng)過邊界PQ時為計時的起點(diǎn)，測得小球?qū)�管�?cè)壁的彈力F_N隨其上升高度h變化的關(guān)系如圖乙所示．不計空氣阻力．最后的計算結(jié)果保留1位小數(shù)．求：

（1）小球剛進(jìn)入磁場B₁時的加速度大小a；
（2）絕緣管的長度L；
（3）若小球一離開管口，就立即讓小車做勻變速直線運(yùn)動從而使小球再次進(jìn)入管內(nèi)，求小車的加速度a'

Answer 1

分析 （1）小球在水平方向上隨小車做勻速直線運(yùn)動，剛進(jìn)入磁場時，在豎直方向上對小球受力分析，受到豎直向下的重力和豎直向上的電場力以及洛倫茲力，在豎直方向上利用牛頓第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球剛要離開管口時，在水平方向上合力為零，在水平方向上受管側(cè)壁的彈力和洛倫茲力（此力是速度在豎直方向上的分量產(chǎn)生的）結(jié)合牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)公式可求出絕緣管的長度．
（3）當(dāng)小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場時，對其受力分析，受到重力、電場力和洛倫茲力，經(jīng)計算可判斷重力和電場力平衡，可知小球會在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，做出小球的運(yùn)動軌跡圖，利用有邊界磁場的運(yùn)動規(guī)律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律求得小車的加速度a′．

解答 解：（1）以小球?yàn)檠芯繉ο�，豎直方向小球受重力和恒定的洛倫茲力f，故小球在管中豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，加速度設(shè)為a，則
$a=\frac{f-mg}{m}$=$\frac{qv{B}_{1}-mg}{m}$=$\frac{8×1{0}^{-5}×2\sqrt{3}×15-\frac{\sqrt{3}}{5}×1{0}^{-3}×10}{\frac{\sqrt{3}}{5}×1{0}^{-3}}m/{s}^{2}$=2m/s²
即小球剛進(jìn)入磁場B₁時的加速度大小a為2m/s²．
（2）在小球運(yùn)動到管口時，F(xiàn)_N=2.4×10^-3N，設(shè)v₁為小球豎直分速度，由F_N=qv₁B₁，則${v}_{1}=\frac{{F}_{N}}{q{B}_{1}}$=$\frac{2.4×1{0}^{-3}}{8×1{0}^{-5}×15}m/s=2$m/s
由${v}_{1}^{2}=2aL$得L=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2}m=1m$
即絕緣管的長度L為1m．
（3）小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場，其中qE=2$\sqrt{3}$×10^-3N，mg=2$\sqrt{3}$×10^-3N．故電場力與重力平衡，小球在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動．
合速度v′=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}m/s=4m/s$，與MN成30°角，
軌道半徑為R，$R=\frac{mv′}{q{B}_{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}×1{0}^{-3}×4}{8×1{0}^{-5}×5}m$=$2\sqrt{3}m$
小球離開管口開始計時，到再次經(jīng)過MN所通過的水平距離由幾何知識有：
${s}_{1}=r=2\sqrt{3}m$
對應(yīng)時間：$t=\frac{T}{6}$=$\frac{1}{6}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}=\frac{1}{6}×\frac{2π×\frac{\sqrt{3}}{5}×1{0}^{-3}}{8×1{0}^{-5}×5}s$=$\frac{\sqrt{3}}{6}πs$
若小球還要落在小車的管內(nèi)，則有：小車的位移等于${s}_{2}={s}_{1}=2\sqrt{3}m$
又小車的位移${s}_{2}=vt+\frac{1}{2}a′{t}^{2}$
可得小車加速度$a′=\frac{2×2\sqrt{3}-2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}π}{（\frac{\sqrt{3}}{6}π）^{2}}m/{s}^{2}$≈0.785m/s²
答：（1）小球剛進(jìn)入磁場B₁時的加速度大小a為2m/s²；
（2）絕緣管的長度L為1m；
（3）若小球一離開管口，就立即讓小車做勻變速直線運(yùn)動從而使小球再次進(jìn)入管內(nèi)，求小車的加速度a'為0.785m/s²．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，對復(fù)合場的理解和運(yùn)動過程的分析是解決此類問題的關(guān)鍵．第一問中實(shí)際速度斜向右上方；第二位通過彈力求解出豎直分速度，然后根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求解；第三位關(guān)鍵畫出運(yùn)動軌跡．