Question

19．帶電粒子的電荷量與其質(zhì)量之比稱為比荷（ $\frac{q}{m}$）．是帶電粒子的基本參量之一．
如圖l所示是湯姆孫用來測定電子比荷的實(shí)驗(yàn)裝置，真空玻璃管中K是金屬板制成的陰極，由陰極K發(fā)出的射線被加速后穿過帶有狹縫的極板A、B．經(jīng)過兩塊平行鋁板C、D中心軸線后打在玻璃管右側(cè)的熒光屏上形成光點(diǎn)．若平行鋁板C、D間無電壓，電子將打在熒光屏上的中心O點(diǎn)；若在平行鋁板C、D間施加偏轉(zhuǎn)電壓U，則電子將打在O₁點(diǎn)，O_l點(diǎn)與O點(diǎn)的豎直間距為h，水平間距可忽略不計(jì)．若再在平行鋁板C、D間施加一個(gè)方向垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），則電子在熒光屏上產(chǎn)生的光點(diǎn)又回到O點(diǎn)．已知平行鋁板C、D的長度均為L₁，板間距離為d，它們的右端到熒光屏中心O點(diǎn)的水平距離為L₂，不計(jì)電子的重力和電子間的相互作用．

（1）求電子剛進(jìn)入平行鋁板C、D間時(shí)速度的大�。�
（2）推導(dǎo)出電子比荷的表達(dá)式；
（3）伽利略曾通過邏輯推理得知：在同一高度同時(shí)由靜止釋放兩個(gè)質(zhì)量不同的鐵球，只在重力作用下，它們可以同時(shí)落地．那么靜電場中的不同帶電粒子是否也會(huì)出現(xiàn)“同時(shí)落地”的現(xiàn)象呢？比如，在圖2所示的靜電場中的A點(diǎn)先后由靜止釋放兩個(gè)帶電粒子，它們只在電場力作用下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)．請你分析說明：若要兩個(gè)帶電粒子從A運(yùn)動(dòng)到B所用時(shí)間相同（即實(shí)現(xiàn)“同時(shí)落地”），則必須滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）加偏轉(zhuǎn)電壓后，板間電場為勻強(qiáng)電場，根據(jù)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)公式求出電場強(qiáng)度；當(dāng)電子受到電場力與洛倫茲力平衡時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此由電壓、磁感應(yīng)強(qiáng)度可求出運(yùn)動(dòng)速度．
（2）電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成沿電場強(qiáng)度方向與垂直電場強(qiáng)度方向，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．電子離開電場后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從而可以求出偏轉(zhuǎn)距離的表達(dá)式，變型得到電子的荷質(zhì)比表達(dá)式．
（3）帶電粒子由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中都是做初速度等于0的變加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它們經(jīng)過任何位置時(shí)的加速度都相同，則它們從A運(yùn)動(dòng)到B的運(yùn)動(dòng)情況也完全相同，它們從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間就相等，由此思路分析即可．

解答 解：（1）加偏轉(zhuǎn)電壓U后，板間區(qū)域的電場為勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小$E=\frac{U}$，方向豎直向下；
當(dāng)電子受到的電場力與洛淪茲力平衡時(shí)，電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，亮點(diǎn)重新回復(fù)到中心O點(diǎn)，設(shè)電子的速度為v，
則  evB=eE
得  v=$\frac{E}{B}$
即  v=$\frac{U}{Bb}$
（2）當(dāng)極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場 時(shí)，電子以速度v進(jìn)入后，豎直方向作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a=$\frac{eU}{mb}$
電子在水平方向作勻速運(yùn)動(dòng)，在電場內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為  ${t}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{1}^{\;}}{v}$
這樣，電子在電場中，豎直向上偏轉(zhuǎn)的距離為  d₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{e{L}_{1}^{2}U}{2m{v}_{\;}^{2}b}$
離開電場時(shí)豎直向上的分速度為  v₁=at₁=$\frac{e{L}_{1}^{\;}U}{mvb}$
電子離開電場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t₂時(shí)間到達(dá)熒光屏  t₂=$\frac{{L}_{2}^{\;}}{v}$
t₂時(shí)間內(nèi)向上運(yùn)動(dòng)的距離為    d₂=v₁t₂=$\frac{eU{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{m{v}_{\;}^{2}b}$
這樣，電子向上的總偏轉(zhuǎn)距離為   d=d₁+d₂=$\frac{eU}{m{v}_{\;}^{2}b}$L₁（L₂+$\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}$）
可解得   $\frac{e}{m}$=$\frac{Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{2}^{\;}+\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}）}$
（3）帶電粒子由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中都是做初速度等于0的變加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它們經(jīng)過任何位置時(shí)的加速度都相同，則它們從A運(yùn)動(dòng)到B的運(yùn)動(dòng)情況也完全相同，它們從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間就相等．
帶電粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$，可知若要加速度相等，即時(shí)間相等，則需要它們的比荷$\frac{q}{m}$相同．
答：（1）電子剛進(jìn)入平行鋁板C、D間時(shí)速度的大小為$\frac{U}{Bb}$；
（2）推導(dǎo)出電子比荷的表達(dá)式為$\frac{e}{m}$=$\frac{Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{2}^{\;}+\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}）}$；
（3）要兩個(gè)帶電粒子從A運(yùn)動(dòng)到B所用時(shí)間相同（即實(shí)現(xiàn)“同時(shí)落地”），則必須滿足它們的比荷$\frac{q}{m}$相同．

點(diǎn)評 考查平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律：將運(yùn)動(dòng)分解成相互垂直的兩方向運(yùn)動(dòng)，因此將一個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡單的直線運(yùn)動(dòng)，并用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來求解．