Question

如圖所示，一根長l=0.8m輕繩一端固定在O點，另一端栓一質(zhì)量m=0.1kg的小球靜止于A點，其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與A等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．現(xiàn)使細(xì)繩處于水平線上方30°的位置B點處而伸直，且與轉(zhuǎn)筒的軸線、OA在同一豎直平面內(nèi)，開始時小孔也在這一豎直平面內(nèi)．將小球由B點靜止釋放，當(dāng)小球經(jīng)過A點時輕繩突然斷掉，同時觸動了光電裝置，使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動起來，且小球最終正好進(jìn)入小孔．不計空氣阻力，g取l0m/s²．試求：
（1）小球到達(dá)A點時的速率？
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距A點的距離L和轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω

Answer 1

分析：（1）由于輕繩突然斷掉時，輕繩對小球做功，小球的機械能有損失，不能從B到A過程，運用機械能守恒列方程，解出小球到達(dá)A點時的速率．分兩段研究：從B到細(xì)繩斷掉和細(xì)繩斷掉到A，分別根據(jù)機械能定律列式，求解小球到達(dá)A點時的速率．細(xì)繩斷掉過程，小球沿繩子方向的速度突然減至零．
（2）滑塊從A點到進(jìn)入小孔做平拋運動，由高度h求出時間，由幾何關(guān)系L-r=v_A?t求得L；在小球平拋的時間內(nèi)，圓桶必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆入小孔，根據(jù)此關(guān)系列式，求解轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω．

解答：解：（1）設(shè)細(xì)繩到C位置斷掉．
從B→C過程：根據(jù)機械能守恒得：
mgl=

1

2

m

v

2 C

v_C切=v_Csin60°
從C到A，只有重力做功，據(jù)機械能守恒定律
mgl(1-cos60°)+

1

2

m

v

2 C切

=

1

2

m

v

2 A

vA=2

5

m/s
（2）滑塊從A點到進(jìn)入小孔的時間
t=

2h g

=

2×0.8 10

s=0.4s
L-r=v_A?t
L=

4 5 +1

5

m=1.99m
在小球平拋的時間內(nèi)，圓桶必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆入小孔
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）    
ω=5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）   
答：
（1）小球到達(dá)A點時的速率為2

5

m/s；
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距A點的距離L是1.99m；轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω是5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）．

點評：本題是圓周運動與平拋運動相結(jié)合的題目，考查了圓周運動及平拋運動的基本規(guī)律，運動過程較為復(fù)雜，難度較大．