Question

（2012?虹口區(qū)二模）如圖（a），小球甲固定于水平氣墊導(dǎo)軌的左端，質(zhì)量m=0.4kg的小球乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng)，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢(shì)能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化．現(xiàn)已測(cè)出勢(shì)能隨位置x的變化規(guī)律如圖（b）中的實(shí)線所示．已知曲線最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀=20cm，虛線①為勢(shì)能變化曲線的漸近線，虛線②為經(jīng)過曲線上某點(diǎn)的切線．

（1）將小球乙從x₁=8cm處由靜止釋放，小球乙所能達(dá)到的最大速度為多大？
（2）假定導(dǎo)軌右側(cè)足夠長，將小球乙在導(dǎo)軌上從何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經(jīng)過x₀=20cm的位置？并寫出必要的推斷說明；
（3）若將導(dǎo)軌右端抬高，使其與水平面的夾角α=30°，如圖（c）所示．將球乙從x₂=6cm處由靜止釋放，小球乙運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)速度最大？并求其最大速度；
（4）在圖（b）上畫出第（3）問中小球乙的動(dòng)能E_k與位置x的關(guān)系圖線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)功能關(guān)系可知，當(dāng)勢(shì)能最小時(shí)，動(dòng)能最大，速度最大．
（2）根據(jù)題意正確進(jìn)行受力分析，明確小球的運(yùn)動(dòng)形式，根據(jù)能量守恒可正確解答．
（3）由圖得出釋放時(shí)的勢(shì)能便是整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的總能量，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒可知?jiǎng)菽茏钚�時(shí)動(dòng)能最大，據(jù)此可求得最大速度和最大位移．
（4）圖象是關(guān)于圖線 III與圖線 II對(duì)稱的曲線．

解答：解：（1）球乙運(yùn)動(dòng)到x₀=20cm位置時(shí)勢(shì)能最小，速度最大，由能量守恒可得：
0+Epl=

1

2

m

v

2 m

+0
解出：vm=

2Epl m

=

2×0.2 0.4

m/s=1m/s
答：小球乙所能達(dá)到的最大速度為1m/s．
（2）在0＜x＜6cm區(qū)間內(nèi)將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經(jīng)過x₀．
原因：在0＜x＜6cm區(qū)間內(nèi)兩球之間的作用力為排斥力，在20cm＜x＜∞區(qū)間內(nèi)兩球之間作用力為吸引力，無窮遠(yuǎn)處和6cm處的勢(shì)能為0.28J．若小球乙的靜止釋放點(diǎn)在6cm＜x＜∞區(qū)間，小球乙做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，多次經(jīng)過x₀=20cm的位置．而靜止釋放點(diǎn)在0＜x＜6cm區(qū)間內(nèi)時(shí)，初態(tài)勢(shì)能大于0.28J，小球乙將會(huì)到無窮遠(yuǎn)處而無法返回，只能經(jīng)過x₀位置一次．
（3）x₃=12cm處的切線斜率

△Ep

△x

=

0.34

0.17

J/m=2J/m，
表明此處乙球受到甲球2N的排斥力，乙球此處受到重力的分力為mgsinα=2N．
所以，乙球在x₃=12cm處時(shí)，所受合外力等于零，速度最大．
從圖中讀出x₃=12cm處的勢(shì)能E_P3=0.1J，x₂=6cm處的勢(shì)能E_p2=0.28J，
能量守恒：0+Ep2+mgx2sinα=

1

2

m

v

′2 m

+Ep3+mgx3sinα
解出：

v

′ m

=

2(Ep2-EP3) m -2g(x3-x2)sinα

=

0.3

m/s=0.55m/s
答：小球乙運(yùn)動(dòng)到x₃=12cm時(shí)速度最大，其最大速度為0.55m/s．
（4）得出圖象如下所示，注意幾個(gè)特殊位置，x₂=6cm處的動(dòng)能為E_k=0；x₃=12cm處的動(dòng)能E_k=0.06J，x₄=20cm處的動(dòng)能E_k=0J．
 

點(diǎn)評(píng)：本題考查包括重力勢(shì)能和動(dòng)能在內(nèi)的能量守恒，還要讀圖和作圖，有一定難度，難點(diǎn)在，此類題在高考中很少出現(xiàn)過，是創(chuàng)新．是考查學(xué)生能力的好題．