Question

如圖所示，t=0時(shí)刻，質(zhì)量M=4kg上表面水平的小車(chē)靜止在光滑水平面上，小車(chē)兩端點(diǎn)A、B之間的中點(diǎn)C處?kù)o止著質(zhì)量m=1kg、電荷量q=5×10^-4C、可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電物體．現(xiàn)在0～2.5s末這段時(shí)間內(nèi)，在小車(chē)所在空間施加一個(gè)方向水平向右、電場(chǎng)強(qiáng)度E₁=2×10³N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)；接著在2.5s末改變電場(chǎng)的大小和方向，使2.5s～3.5s末這段時(shí)間內(nèi)，小車(chē)所在空間的勻強(qiáng)電場(chǎng)方向水平向左、電場(chǎng)強(qiáng)度E₂=5×10³N/C；然后在t=3.5s末，撤去電場(chǎng)．若小車(chē)表面絕緣，小車(chē)與物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，小車(chē)與物體之間最大靜摩擦力的大小等于滑動(dòng)摩擦力的大小，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）2.5s末小車(chē)和物體的速度；
（2）要讓物體不從小車(chē)上滑落，小車(chē)的最小長(zhǎng)度為多少？

Answer 1

分析：（1）0～2.5s末這段時(shí)間內(nèi)，在小車(chē)所在空間施加一個(gè)水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，物體受到向右的電場(chǎng)力，小車(chē)與物體之間最大靜摩擦力：f_max=μmg=1N，假設(shè)兩者相對(duì)靜止，根據(jù)牛頓第二定律運(yùn)用整體法和隔離法，求出物體與小車(chē)間的靜摩擦力，判斷物體與小車(chē)是否相對(duì)靜止，若相對(duì)靜止，再求整體的加速度，由速度公式v=at求出速度．
（2）再用同樣的方法判斷在2.5 s～3.5 s末（t′=1s）這段時(shí)間內(nèi)，物體與小車(chē)是否相對(duì)靜止．若物體將相對(duì)小車(chē)向左運(yùn)動(dòng)，對(duì)物體和小車(chē)分別運(yùn)用動(dòng)量定理，列式，可求出3.5 s末物體、小車(chē)的速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系求出這一過(guò)程中物體相對(duì)小車(chē)向左的位移．撤去電場(chǎng)后，物體和小車(chē)構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒和能量守恒列式，求出這一過(guò)程中物體相對(duì)小車(chē)向左的位移，從而求出小車(chē)的最小長(zhǎng)度．

解答：解：（1）小車(chē)與物體之間最大靜摩擦力：f_max=μmg=1N
在0～2.5s末（t=2.5s）這段時(shí)間內(nèi)，假設(shè)物體與小車(chē)相對(duì)靜止，則由牛頓第二定律可知它們的加速度為：a=

qE1

m+M

=0.2m/s2
若以小車(chē)為研究對(duì)象，小車(chē)受到的摩擦力為：f_M=Ma=0.8N
因?yàn)閒_M＜f_max，故假設(shè)成立．即物體與小車(chē)相對(duì)靜止．                
所以，在2.5s末小車(chē)和物體的共同速度為：v=at=0.5m/s，方向水平向右．    
（2）在2.5 s～3.5 s末（t′=1s）這段時(shí)間內(nèi)，仍假設(shè)物體與小車(chē)相對(duì)靜止，則由牛頓第二定律可知它們的加速度為：a′=

qE2

m+M

=0.5m/s2
若以小車(chē)為研究對(duì)象，小車(chē)受到的摩擦力為：f′_M=Ma′=2N
因?yàn)閒′_M＞f_max，故假設(shè)不成立．即物體將相對(duì)小車(chē)向左運(yùn)動(dòng)．          
以水平向右的方向?yàn)檎�方向，設(shè)3.5 s末物體、小車(chē)的速度分別為v₁、v₂，根據(jù)動(dòng)量定理，對(duì)物體有：（-qE₂+μmg）t′=mv₁-mv
對(duì)小車(chē)有：-μmgt′=Mv₂-Mv
解得：v₁=-1m/s（方向向左），v₂=0.25m/s（方向向右）          
這一過(guò)程中物體相對(duì)小車(chē)向左的位移是：△s1=|

1

2

(v+v1)t′|+

1

2

(v+v2)t′=0.625m
撤去電場(chǎng)后，物體和小車(chē)構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)它們相對(duì)靜止時(shí)的速度為v?，由動(dòng)量守恒定律有：Mv₂+mv₁=（M+m）v′
解得：v′=0
設(shè)這一過(guò)程中物體相對(duì)小車(chē)向左的位移為△s₂，由能量守恒定律有：μmg△s2=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

解得：△s₂=0.625m
所以，小車(chē)的最小長(zhǎng)度為：L=2（△s₁+△s₂）=2.5m
答：
（1）2.5s末小車(chē)和物體的速度是0.5m/s．
（2）要讓物體不從小車(chē)上滑落，小車(chē)的最小長(zhǎng)度為2.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題是電場(chǎng)中力學(xué)問(wèn)題，基本方法與力學(xué)一樣，關(guān)鍵分析物塊與小車(chē)的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．要注意摩擦發(fā)熱與物體間相對(duì)位移成正比．