Question

19．為了探究電動機轉速與彈簧伸長量之間的關系，小明設計了如圖所示的裝置．半徑為l的圓形金屬導軌固定在水平面上，一根長也為l、電阻為R的金屬棒ab一端與導軌接觸良好，另一端固定在圓心處的導電轉軸oo’上，由電動機A帶動旋轉．在金屬導軌區(qū)域內存在垂直于導軌平面，大小為B₁、方向豎直向下的勻強磁場．另有一質量為m、電阻為R的金屬棒cd用輕質彈簧懸掛在豎直平面內，并與固定在豎直平面內的“U”型導軌保持良好接觸，導軌間距為l，底部接阻值也為R的電阻，處于大小為B₂、方向垂直導軌平面向里的勻強磁場中，從圓形金屬導軌引出導線和通過電刷從轉軸引出導線經開關S與“U”型導軌連接．當開關S斷開，棒cd靜止時，彈簧伸長量為x₀；當開關S閉合，電動機以某一速度勻速轉動，棒cd再次靜止，彈簧伸長量變?yōu)閤（不超過彈性限度）．不計其余電阻和摩擦等阻力，求此時
（1）通過棒cd的電流I_cd；
（2）電動機對該裝置的輸出功率P；
（3）電動機轉動角速度ω與彈簧伸長量x之間的函數關系．

Answer 1

分析 （1）S斷開和閉合時，根據平衡條件列式，即可求出棒cd的電流；
（2）電動機對該裝置的輸出功率等于回路電阻上消耗的熱功率；
（3）根據法拉第電磁感應定律和歐姆定律求出回路總電流，聯(lián)立（2），即可得出電動機轉動角速度ω與彈簧伸長量x之間的函數關系

解答 解：（1）S斷開，cd棒靜止有：
$mg=k{x}_{0}^{\;}$
S閉合，cd棒靜止時受到的安培力為：
$F={I}_{cd}^{\;}{B}_{2}^{\;}l$
cd棒靜止有：
$mg+{I}_{cd}^{\;}{B}_{2}^{\;}l=kx$
得：${I}_{cd}^{\;}=\frac{mg（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{2}^{\;}l{x}_{0}^{\;}}$
（2）回路總電阻為：${R}_{總}^{\;}=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R$
總電流為：$I=\frac{2mg（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{2}^{\;}l{x}_{0}^{\;}}$
由能量守恒得：$P={I}_{\;}^{2}{R}_{總}^{\;}=\frac{6{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R（x-{x}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}{{B}_{2}^{2}{l}_{\;}^{2}{x}_{0}^{2}}$
（3）由法拉第電磁感應定律：
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{1}{2}{B}_{1}^{\;}ω{l}_{\;}^{2}$
回路總電流為：$I=\frac{{B}_{1}^{\;}ω{l}_{\;}^{2}}{3R}$
解得：$ω=\frac{6mgR（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}{l}_{\;}^{3}{x}_{0}^{\;}}$
答：（1）通過棒cd的電流$\frac{mg（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{2}^{\;}l{x}_{0}^{\;}}$；
（2）電動機對該裝置的輸出功率P為$\frac{6{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R（x-{x}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}{{B}_{2}^{2}{l}_{\;}^{2}{x}_{0}^{2}}$；
（3）電動機轉動角速度ω與彈簧伸長量x之間的函數關系$ω=\frac{6mgR（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}{l}_{\;}^{3}{x}_{0}^{\;}}$．

點評 本題考查了電磁感應與電學、力學知識的綜合，關鍵是掌握轉動感應電動勢公式$E=\frac{1}{2}B{R}_{\;}^{2}ω$，注意理清電路結構，切割磁感線的導體棒相當于電源．