Question

如圖所示，質(zhì)量M，半徑R的光滑半圓槽第一次被固定在光滑水平地面上，質(zhì)量為m的小球，以某一初速度沖向半圓槽剛好可以到達(dá)頂端C．然后放開(kāi)半圓槽．其可以自由運(yùn)動(dòng)，m小球又以同樣的初速?zèng)_向半圓槽，小球最高可以到達(dá)與圓心等高的B點(diǎn)，（g=10m/s²）
試求：
①半圓槽第一次被固定時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)后平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程X=？
②小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值m/M為多少？

Answer 1

①小球剛好可以到達(dá)頂端C，說(shuō)明剛好由重力提供向心力
mg=m

v12

R

所以到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v1=

gR

小球由C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)
豎直方向上的位移y=2R=

1

2

gt2
所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

4R g

水平方向上的位移x=v₁t=

gR

?

4R g

=2R
②半圓槽第一次被固定時(shí)，對(duì)小球運(yùn)用動(dòng)能定理-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得v02=5gR
然后放開(kāi)半圓槽后，m小球又以同樣的初速?zèng)_向半圓槽，
對(duì)m、M系統(tǒng)根據(jù)動(dòng)量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₂
所以v2=

mv0

m+M

=

m

m+M

5gR

對(duì)m、M系統(tǒng)根據(jù)動(dòng)能定理有：
-mgR=

1

2

(m+M)v22-

1

2

mv02
所以-mgR=

1

2

(m+M)?(

m

m+M

5gR

)2-

1

2

m?5gR
化簡(jiǎn)得

m

M

=

3

2

答：①半圓槽第一次被固定時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)后平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程X=2R．
②小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值為

m

M

=

3

2

．