Question

13．如圖所示，在xOy平面內(nèi)分布著沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線是半徑r=$\sqrt{2}$a、圓心在（3a，0）的圓．質(zhì)量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子從原點(diǎn)O以速度v₀沿x軸正向射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與圓相切于點(diǎn)P．不計(jì)粒子的重力，求：
（1）粒子在P點(diǎn)的速度方向與x軸正向的夾角；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出其軌跡方程，然后根據(jù)題意求出與圓的交點(diǎn)，再求出速度方向與x軸正方向的夾角．
（2）應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出電場(chǎng)強(qiáng)度．

解答 解：如下圖：過B點(diǎn)作x軸垂線與圓交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)做圓G 的切線交x軸于A點(diǎn)；由長(zhǎng)度關(guān)系可證三角形BPG為等腰直角三角形，所以可得OA=AB=BP；由類平拋運(yùn)動(dòng)速度的延長(zhǎng)線過水平位移的中點(diǎn)，可知P點(diǎn)即為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與圓的交點(diǎn)．
（1）粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由題意可知，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與圓相切于點(diǎn)P，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

則，粒子的水平位移：x=2a，
由勾股定理得：y²+（3a-2a）²=（$\sqrt{2}$a）²，解得：y=a，
粒子在P點(diǎn)的速度方向與x軸正向的夾角的正切值：tanθ=$\frac{y}{\frac{x}{2}}$=$\frac{a}{\frac{2a}{2}}$=1，θ=45°；
（2）粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：x=2a=v₀t，
豎直方向：y=a=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$；
答：（1）粒子在P點(diǎn)的速度方向與x軸正向的夾角為45；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$．

點(diǎn)評(píng) 本題難度較大，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與幾何知識(shí)可以解題；作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，軌跡與圓相切與P點(diǎn)，連切點(diǎn)P和圓心，圓心與P的連線是圓的半徑，與切線垂直，平拋運(yùn)動(dòng)切線的延長(zhǎng)線過水平位移的中點(diǎn)，圓的切線與圓半徑垂直，這是圓與運(yùn)動(dòng)軌跡的共同的切線．