Question

13．如圖所示，一個(gè)$\frac{3}{4}$圓弧形光滑細(xì)圓管軌道ABC，放置在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，在A點(diǎn)與水平面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R、厚度不計(jì)的墊子，左端M正好位于A點(diǎn)，將一個(gè)質(zhì)量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力．
（1）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對管的作用力大小和方向如何？
（2）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，小球的釋放點(diǎn)離A點(diǎn)的高度是多少？
（3）欲使小球能通過C點(diǎn)落到墊子上，小球的釋放點(diǎn)離A點(diǎn)的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律可以求得C點(diǎn)速度的大�。�
（2）對小球，通過C點(diǎn)時(shí)，由重力和圓管的作用力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得圓管對小球的作用力，由牛頓第三定律得到小球?qū)�圓管的作用力；
（3）小球下降的高度最大時(shí)，離開C的水平位移為4R，恰好打到N點(diǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動求得C點(diǎn)的速度．再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解小球離A點(diǎn)的最大高度．

解答 解：（1）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動，落到M點(diǎn)時(shí)水平位移為R，豎直下落高度為R，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式可得：
豎直方向有：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
以小球?yàn)檠芯繉ο螅�通過C點(diǎn)時(shí)，由重力和圓管的作用力的合力提供小球的向心力，設(shè)圓管對小球的作用力方向向下，大小為F，根據(jù)牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=-$\frac{1}{2}$mg，說明圓管對小球的作用力方向豎直向上，
根據(jù)牛頓第三定律得小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對細(xì)圓管的作用力大小為：F′=F=$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向下．
（2）設(shè)小球釋放點(diǎn)離A點(diǎn)高度為H；
對開始下落到C點(diǎn)的過程，小球的機(jī)械能守恒；可得：
mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：H=1.25R；
（3）小球下降的高度最大時(shí)，離開C的水平位移為4R，恰好打到N點(diǎn)，設(shè)小球通過C點(diǎn)的速度為v．
則由平拋運(yùn)動規(guī)律得：
v=$\frac{4R}{t}$=$\frac{4R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}$=$\sqrt{8gR}$
從開始下落到C點(diǎn)的過程，設(shè)小球下降的最大高度為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：H=5R．
答：（1）小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對細(xì)圓管的作用力大小為$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向下．
（2）小球要落到M點(diǎn)，釋放高度離A點(diǎn)為1.25R．
（3）欲使小球能通過C點(diǎn)落到墊子上，小球離A點(diǎn)的最大高度為5R．

點(diǎn)評 本題要分析清楚物體的運(yùn)動過程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．