Question

（2005?南通一模）一地球探測(cè)飛船在地球赤道上空繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，用撮像機(jī)拍攝地球表面圖片．已知地球的密度為ρ，飛船的運(yùn)行周期為T(mén)（小于24h）．
試求撮像機(jī)所能桕撮的總面積與地球表面積之比．（萬(wàn)有引力恒量為G，球體積公式V=

4

3

πr3，r為球半徑；球冠面積公式為s=2πrh，r為球半徑，h為球冠高）

Answer 1

分析：由飛船的運(yùn)轉(zhuǎn)周期得到其軌道半徑，由幾何關(guān)系確定攝像機(jī)的拍攝角，再由幾何關(guān)系求得拍攝不到的球冠的面積，進(jìn)而求得拍攝的總面積與地球表面積之比

解答：解：如圖所示，設(shè)地球半徑為r，衛(wèi)星的軌道半徑為R．圖中兩個(gè)陰影部分球冠是不能拍到的區(qū)域，其總面積為：Sˊ=2×2πrh    
而h=r（1-cosα）    
cosα=

R2-r2

R

   
根據(jù)牛頓第二定律得，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)有：

GMm

R2

=mR(

2π

T

)2
而M=ρ×

4

3

πr3
地球表面積S=4πr²
解得攝像機(jī)所能拍攝的總面積與地球表面積之比為：

S-S′

S

=

1-( 3π ρGT2 ) 2 3

答：能拍攝的總面積與地球表面積之比為

1-( 3π ρGT2 ) 2 3

點(diǎn)評(píng)：飛船圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為萬(wàn)有引力，由周期可得到其運(yùn)轉(zhuǎn)軌道半徑，根據(jù)圖示的幾何關(guān)系可得解，但由于立體圖形的出現(xiàn)，增加了本題目的難度