Question

20．如圖甲所示，放射性粒子源S持續(xù)放出質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，粒子經(jīng)過ab間電場加速從小孔O沿OO₁方向射入MN板間勻強(qiáng)電場中，OO₁為兩板間的中心線，與板間勻強(qiáng)電場垂直，在小孔O₁處只有沿OO₁延長線方向運(yùn)動(dòng)的粒子穿出．已知M、N板長為L，間距為d，兩板間電壓U_MN隨時(shí)間t變化規(guī)律如圖乙所示，電壓變化周期是T₁．不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用．

（1）設(shè)放射源S放出的粒子速度大小在0～v₀范圍內(nèi)，已知U_ab=U₀，求帶電粒子經(jīng)a、b間電場加速后速度大小的范圍．
（2）要保證有粒子能從小孔O₁射出電場，U大小應(yīng)滿足什么條件？若從小孔O射入電場的粒子速度v大小滿足3.5×10⁶m/s≤v≤1.2×10⁷m/s，L=0.10m，T₁=10^-8s，則能從小孔O₁射出電場的粒子速度大小有幾種？
（3）設(shè)某個(gè)粒子以速度v從小孔O₁射出沿OO₁的延長線CD勻速運(yùn)動(dòng)至圖甲中O₂點(diǎn)時(shí)，空間C₁D₁D₂C₂矩形區(qū)域加一個(gè)變化的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化規(guī)律如圖丙所示（T₂未知），最終該粒子從邊界上P點(diǎn)垂直于C₁D₁穿出磁場區(qū)．規(guī)定粒子運(yùn)動(dòng)到O₂點(diǎn)時(shí)刻為零時(shí)刻，磁場方向垂直紙面向里為正．已知DD₁=l，B₀=$\frac{3mv}{ql}$，CD平行于C₁D₁，O₂P與CD夾角為45°．求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理即可求出帶電粒子在電場加速后的速度大小范圍；
（2）能從小孔${O}_{1}^{\;}$射出電場的粒子，在垂直極板方向的速度和位移為0，粒子應(yīng)該在t=2i+14T1（其中i=0，1，2，3…）時(shí)刻從小孔O進(jìn)入MN板間電場．要保證粒子不撞到極板上，在垂直極板方向的最大位移應(yīng)小于$\fracaif1u04{2}$，考慮周期性，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間$△t=k{T}_{1}^{\;}$，求出粒子速度滿足的關(guān)系式，從而得出符合條件的粒子；
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性條件，得出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

解答 解：（1）設(shè)放射源S放出的粒子速度為v₁，粒子在小孔O時(shí)的速度為v，則
$q{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
其中  $0≤{v}_{1}^{\;}≤{v}_{0}^{\;}$
解得  $\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}≤v≤\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$
（2）粒子在MN板間電場中運(yùn)動(dòng)的加速度  $a=\frac{qU}{dm}$
能從小孔O₁射出電場的粒子，沿電場方向的位移和速度都是零，粒子應(yīng)該在$t=\frac{2i+1}{4}{T}_{1}^{\;}$（其中i=0，1，2，3…）時(shí)刻從小孔O進(jìn)入MN板間電場．為了保證粒子不撞到極板上，應(yīng)滿足
$2×\frac{1}{2}a（\frac{{T}_{1}^{\;}}{4}）_{\;}^{2}＜\frac7daognr{2}$
解得  $U＜\frac{8mze1eroh_{\;}^{2}}{q{T}_{1}^{2}}$
粒子在MN板間電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  $△t=\frac{L}{v}$
且應(yīng)滿足  $△t=k{T}_{1}^{\;}$（k=1，2，3…）
則有  $v=\frac{L}{k{T}_{1}^{\;}}=\frac{1{0}_{\;}^{7}}{k}$ （m/s）（k=1，2，3…）
故在3.5×10 ⁶m/s≤v≤1.2×10 ⁷m/s范圍內(nèi)，只有10⁷m/s和5×10⁶m/s兩種速率的粒子能從小孔O₁射出電場        
（3）設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則
$qv{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得  $r=\frac{l}{3}$
根據(jù)題意可知，粒子軌跡如圖，

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期
$T=\frac{2πr}{v}$
則  $T=\frac{2πl(wèi)}{3v}$
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間應(yīng)滿足
$t=2（n+\frac{1}{4}）T+\frac{1}{4}T$（n=0，1，2，3…）
解得  $t=（2n+\frac{3}{4}）\frac{2πl(wèi)}{3v}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）設(shè)放射源S放出的粒子速度大小在0～v0范圍內(nèi)，已知Uab=U0，帶電粒子經(jīng)a、b間電場加速后速度大小的范圍為$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}≤v≤\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$．
（2）要保證有粒子能從小孔O₁射出電場，U大小應(yīng)滿足條件$U＜\frac{8mdiqos80_{\;}^{2}}{q{T}_{1}^{2}}$，若從小孔O射入電場的粒子速度v大小滿足3.5×10⁶m/s≤v≤1.2×10⁷m/s，L=0.10m，T₁=$1{0}_{\;}^{-8}$s，則能從小孔O₁射出電場的粒子速度大小有兩種
（3）設(shè)某個(gè)粒子以速度v從小孔O₁射出沿OO1的延長線CD勻速運(yùn)動(dòng)至圖甲中O₂點(diǎn)時(shí)，空間C₁D₁D₂C₂矩形區(qū)域加一個(gè)變化的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化規(guī)律如圖丙所示（T₂未知），最終該粒子從邊界上P點(diǎn)垂直于C₁D₁穿出磁場區(qū)．規(guī)定粒子運(yùn)動(dòng)到O₂點(diǎn)時(shí)刻為零時(shí)刻，磁場方向垂直紙面向里為正．已知DD₁=l，B₀=$\frac{3mv}{ql}$，CD平行于C₁D₁，O₂P與CD夾角為45°．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為$（2n+\frac{3}{4}）\frac{2πl(wèi)}{3v}$（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電微粒在電場與磁場中的運(yùn)動(dòng)，難度很大，分析清楚微粒運(yùn)動(dòng)過程、作出微粒運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題，解題時(shí)要注意考慮周期性．