Question

19．如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的由半圓形APB（圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R=1.0m，BC段長s=2.5m．彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v₀=5m/s的水平初速度從A點(diǎn)彈入軌道，小球從C點(diǎn)離開軌道隨即水平拋出，落地點(diǎn)D離開C的水平距離x=2m，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度ω和加速度a的大小；
（2）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）桌子的高度H．

Answer 1

分析 （1）小球在半圓形APB管內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$，加速度a=ωv₀．根據(jù)牛頓第二定律求出圓管對(duì)小球的作用力大小；
（2）小球從A到B的時(shí)間t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$，從B到C做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t₂=$\frac{L}{{v}_{0}}$．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)水平方向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和豎直方向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，求出桌子的高度．

解答 解：（1）小球在圓軌道中點(diǎn)P的角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$=$\frac{5}{1}$=5rad/s．
        加速度a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$=$\frac{{5}^{2}}{1}$=25m/s²
（2）小球從A到B的時(shí)間t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$=$\frac{3.14×1}{5}$=0.428s
從B到C的時(shí)間t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{2.5}{5}$=0.5s
則小球從A到C的時(shí)間t=t₁+t₂=0.928s．
（3）小球從C到D的過程有：平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{x}{{v}_{0}}$
解得桌子的高度h=$\frac{{x}^{2}g}{2{v}_{0}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}×10}{2×{5}^{2}}$=0.8m．
答：（1）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度為5rad/s，加速度為25m/s²．
（2）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為0.928s．
（3）桌子的高度h為0.8m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道角速度、加速度與線速度的關(guān)系，以及知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性．