Question

17．如圖甲所示，一足夠長、與水平面夾角θ=53°的傾斜軌道與豎直面內(nèi)的光滑圓軌道相接，圓軌道的半徑為R，其最低點為A，最高點為B．可視為質(zhì)點的物塊與斜軌間有摩擦，物塊從斜軌上某處由靜止釋放，到達(dá)B點時與軌道間壓力的大小F與釋放的位置距最低點的高度h的關(guān)系圖象如圖乙所示，不計小球通過A點時的能量損失，重力加速度g=10m/s²，sin53°=$\frac{4}{5}$，cos53°=$\frac{3}{5}$，求：

（1）假設(shè)斜面光滑，物塊至少從多高的位置由靜止下滑才能通過圓形軌道的B點？
（2）物塊與斜軌間的動摩擦因數(shù)μ；
（3）物塊的質(zhì)量m．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好達(dá)到B點，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和機械能守恒結(jié)合求解；
（2）由乙圖知，當(dāng)h₁=5R時，物塊到達(dá)B點時與軌道間壓力的大小為0，此時由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在B點的速度大小．對物塊：從釋放至到達(dá)B點過程，由動能定理求解動摩擦因數(shù)μ；
（3）設(shè)物塊從距最低點高為h處釋放后到達(dá)B點時速度的大小為v，根據(jù)牛頓第二定律得到F與v的關(guān)系，由動能定理得到F與h的表達(dá)式，結(jié)合圖象，分析F-h圖線的斜率，即可求解物體的質(zhì)量m．

解答 解：（1）物塊恰好達(dá)到B點時，由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
選地面為參考面，物塊從釋放點到達(dá)B點滿足機械能守恒，有：mgh=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：h=2.5R
（2）由乙圖可知，當(dāng)h₁=5R時，物塊到達(dá)B點時與軌道間壓力的大小為0，設(shè)此時物塊在B點的速度大小為v₁，則：
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
對物塊從釋放至到達(dá)B點過程，由動能定理得：mg（h1-2R）-μmgcosθ$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：μ=$\frac{2}{3}$
（3）設(shè)物塊從距最低點高為h處釋放后到達(dá)B點時速度的大小為v，則：F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
對物塊從釋放至到達(dá)B點過程，由動能定理得：mg（h-2R）-μmgcosθ$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：F=$\frac{mgh}{R}$-5mg
則F-h圖線的斜率：k=$\frac{mg}{R}$
由乙圖可知：k=$\frac{2}{R}$
解得：m=0.2kg
答：
（1）假設(shè)斜面光滑，物塊至少從2.5R高的位置由靜止下滑才能通過圓形軌道的B點．
（2）物塊與斜軌間的動摩擦因數(shù)μ是$\frac{2}{3}$；
（3）物塊的質(zhì)量m是0.2kg．

點評 本題的關(guān)鍵是理清物塊的運動過程，把握臨界條件，運用動能定理和圓周運動知識得到F與h的關(guān)系式．