Question

8．經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”，“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個(gè)恒星的線度遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體．如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，設(shè)質(zhì)量分別用m₁、m₂表示，且m₁：m₂=5：2．則可知（　　）

• A． m₁、m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為2：5
• B． m₁、m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為5：2
• C． m₁做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{2}{7}$L
• D． 兩顆恒星的公轉(zhuǎn)周期相等，且可表示為2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．對(duì)兩顆星分別運(yùn)用牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式，即可進(jìn)行求解．

解答 解：雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度，設(shè)為ω．
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
解得：$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{2}{5}$
${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$
解得${r}_{1}^{\;}=\frac{2}{7}L$         ${r}_{2}^{\;}=\frac{5}{7}L$故C正確；
雙星具有相同的角速度，所以$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\frac{1}{1}$，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)v=ωr知v∝r，所以$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{2}{5}$，故A正確；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
解得$G{m}_{2}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}{L}_{\;}^{2}$①
$G{m}_{1}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}{L}_{\;}^{2}$②
聯(lián)立：$G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}$
$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，故D正確
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會(huì)用萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行求解．