Question

16．如圖所示，在y＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向；在y＜0的空間中，存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直xy平面（紙面）向外．一電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的運(yùn)動(dòng)粒子，經(jīng)過(guò)y軸上y=h處的點(diǎn)P₁時(shí)速度為v₀，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過(guò)x軸上x=2h處的P₂點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并經(jīng)過(guò)y軸上y=-2h處的P₃點(diǎn)．不計(jì)重力．求：
（1）粒子在電場(chǎng)中的加速度；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（3）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度的大小和方向；
（4）畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡；
（5）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（6）運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）（2）粒子在電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求解加速度，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式，可求得電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（3）粒子從P到O的過(guò)程中電場(chǎng)力做正功，是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理或分運(yùn)動(dòng)公式，可求得速度的大小和方向；
（4）（5）粒子沿-y方向進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由左手定則判斷可知粒子向右偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出其軌跡半徑r，坐標(biāo)x₀=2r．
（6）分段求時(shí)間：電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間，磁場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)了半個(gè)周期，再求總時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律，有：a=$\frac{qE}{m}$；
（2）設(shè)粒子從P₁到P₂的時(shí)間為t，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，粒子在電場(chǎng)中的加速度為a，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
2h=v₀t
h=$\frac{1}{2}$at²
解得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$
（3）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度沿x方向的分量仍為v₀，以v₁表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x軸的夾角，則有：
${v}_{1}^{2}$=2ah
v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{0}^{2}}$
tanθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$
解得：
v=$\sqrt{2}$v₀；
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以：θ=45°
（4）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，如圖所示：
（5）設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在洛侖茲力作用下粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用r表示圓周的半徑．
由牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
因?yàn)镺P₂=OP₃，θ=45°，由幾何關(guān)系可知，連線P₂P₃為圓軌道的直徑．
由此可求得：r=$\sqrt{2}$h
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qh}$
（6）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{πr}{v}$
粒子從P₁點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P₃點(diǎn)所用時(shí)間為：t=t₁+t₂
得：t=$\frac{2h}{{v}_{0}}+\frac{πh}{{v}_{0}}$
答：（1）粒子在電場(chǎng)中的加速度為$\frac{qE}{m}$；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（3）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度的大小為$\sqrt{2}$v₀，方向與+x軸成45°角向右下方；
（4）如圖所示；
（5）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qh}$；
（6）運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{2h}{{v}_{0}}+\frac{πh}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子先加速后偏轉(zhuǎn)的類型，常規(guī)思路是根據(jù)動(dòng)能定理求加速獲得的速度，對(duì)于磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合軌跡，找出向心力的來(lái)源，由牛頓第二定律和幾何知識(shí)結(jié)合求解．