Question

7．已知地球的第一宇宙速度為v，在北極質(zhì)量為m的物體的重力為G．將地球按正圓球處理，忽略大氣對觀測的影響，在赤道上空運行的一顆人造衛(wèi)星最遠可觀測到緯度為θ的地區(qū)，那么這顆衛(wèi)星運行的周期是（　�。�

• A． $\frac{2πvm}{Gsinθ\sqrt{sinθ}}$
• B． $\frac{2πvm}{Gsinθ\sqrt{cosθ}}$
• C． $\frac{2πvm}{Gcosθ\sqrt{sinθ}}$
• D． $\frac{2πvm}{Gcosθ\sqrt{cosθ}}$

Answer 1

分析 根據(jù)G=mg可得到地球表面的重力加速度，即等于近地衛(wèi)星的加速度，由a=$\frac{{v}^{2}}{R}$求出地球的半徑．對于衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力等于向心力，可求得其周期．

解答 解：根據(jù)G=mg得地球表面的重力加速度為：g=$\frac{G}{m}$
地球的第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的線速度，則有：a=g=$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得地球的半徑為：R=$\frac{m{v}^{2}}{G}$
根據(jù)題意，該衛(wèi)星的軌道半徑為：r=$\frac{R}{cosθ}$
根據(jù)萬有引力等于向心力得：G_引$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
在地球表面有：mg=G_引$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得衛(wèi)星的周期為：T=$\frac{2πvm}{Gcosθ\sqrt{cosθ}}$
故選：D

點評 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力這兩個基本思路，同時要抓住幾何關(guān)系研究衛(wèi)星的軌道半徑與地球半徑的關(guān)系．