Question

【題目】某游樂(lè)場(chǎng)的一項(xiàng)游樂(lè)設(shè)施如圖甲所示，可以簡(jiǎn)化為如圖乙所示的模型，已知圓盤(pán)的半徑為R＝2.5 m，懸繩長(zhǎng)L＝R，圓盤(pán)啟動(dòng)后始終以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)先沿著桿勻加速上升，再勻減速上升直到到達(dá)最高點(diǎn)(整個(gè)上升過(guò)程比較緩慢)，當(dāng)圓盤(pán)上升到最高點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，懸繩與豎直方向的夾角為45°，重力加速度取g＝10 m/s2。求：

(1)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；

(2)若圓盤(pán)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)離地面的高度為h＝22.5 m，為了防止乘客攜帶的物品意外掉落砸傷地面上的行人，地面上至少要設(shè)置多大面積的區(qū)域不能通行；

(3)已知甲乙兩名乘客的質(zhì)量分別是m1和m2(m1>m2)，在圓盤(pán)加速上升的過(guò)程中，他們座椅上的懸繩與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2，比較θ1和θ2的大小關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】(1)設(shè)乘客和座椅的總質(zhì)量是m，懸繩拉力為FT

豎直方向上：FTcosθ＝mg

水平方向上：FTsinθ＝mω2(R＋Rsinθ)

以上兩式聯(lián)立解得ω＝ rad/s。

(2)物品掉落時(shí)的速度v＝ω(R＋Rsinθ)＝5 m/s

物品掉落后做平拋運(yùn)動(dòng)

豎直方向有h－Rcosθ＝

解得t＝2 s

平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x＝vt＝10 m

設(shè)置禁止通行區(qū)域半徑為R′＝＝15 m

得S＝πR′2＝225π m2。

(3)設(shè)加速上升過(guò)程中，圓盤(pán)上升加速度為a

豎直方向：FTcosθ－mg＝ma

水平方向：FTsinθ＝mω2(R＋Rsinθ)

兩式聯(lián)立可得(g＋a)tanθ＝ω2(R＋Rsinθ)

可見(jiàn)θ與質(zhì)量無(wú)關(guān)，即θ1＝θ2。