Question

如圖所示，在xOy平面內，一質量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計）以速度v₀從坐標原點O沿與+x方向成θ角射入第一象限區(qū)，并從x軸上x₁=a的A點離開第一象限區(qū)，速度方向與+x方向也成θ角．
（1）若在xOy平面存在一電場，帶點粒子在電場力作用下沿圓弧勻速率從O點運動到A點，θ=30°，求O點電場強度的大小E和粒子從O點運動到A點的時間t．
（2）若只存在一垂直于xOy平面的圓形勻強磁場區(qū)，磁場的磁感應強度B是可以調節(jié)的，且滿足0≤B≤B_m，θ=30°，求圓形磁場區(qū)的最小半徑r₀．
（3）若只有第一象限內存在一垂直于xOy平面的圓形勻強磁場區(qū)，且θ=45°，求磁場的磁感應強度的最小值B₀．

Answer 1

分析：（1）根據幾何關系可知帶電粒子運動的軌跡的長度，再根據粒子勻速運動可以求得粒子的運動的時間的大�。�
（2）根據幾何關系可知帶電粒子在磁場中的半徑，由洛倫茲力作為向心力可以求得粒子的運動的半徑的大�。�
（3）磁場磁感應強度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場區(qū)半徑越大，當磁場區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場磁感應強度最�。�

解答：解：（1）有幾何關系可知，帶電粒子運動的半徑r₁=x₁=a，
粒子在電場中偏轉2θ=

π

3

，
由牛頓第二定律和運動學公式有，
qE=m

v 2 0

r1

t=

2θr

v0

解得 E=

mv 2 0

aq

t=

πa

3v0

（2）如圖所示，設圓周運動的最小半徑為r₂，則
qv₀B_m=m

v 2 0

r2

r₀=

r2

2

解得 r₀=

mv0

2qBm

（3）如圖所示，圓形磁場區(qū)只限于第一象限內，磁場磁感應強度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場區(qū)半徑越大．
當磁場區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場磁感應強度最小，
設對應的運動半徑為r₃，則
r₃=

a

2

qv₀B₀=m

v 2 0

r3

解得 B₀=

2mv0

aq

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．